lim[x→+0]x^x を求めよという問題で,
y = x^x とおくと log(y) = log(x^x) = xlog(x).

lim[x→+0]log(y)
= lim[x→+0]xlog(x) = lim[x→+0]log(x)/(1/x)
= lim[x→+0](1/x)/(-1/(x^2)) (∵ロピタルの定理
= lim[x→+0](-x)
= 0

よって lim[x→+0]y = lim[x→+0](x^x) = 1
となりますが、この問題をロピタルを使わずに解くとどうなりますか？