解き方として正解かどうか教えてください。

（問）二次方程式ax^2-x+2a-3=0が-1≦x≦2の範囲に少なくともひとつの解を持つような実数の定数aの範囲を求めよ。

（自分の解答）
(i)極値が-1≦x≦2において存在するとき
すなわちa≧1/4のとき
解が存在する条件は
①判別式≧0かつ
②f(-1)≧0またはf(2)≧0

これを計算してa≧1/4も考慮して

2/3≦a≦(3+√11)/4

(ii)(i)以外のとき
即ちa<1/4のとき　

解を持つ条件は
f(-1)・f(2)≦0

これらを満たすaは存在しない。

で、答えは(i)で求めた条件としたんですが、合ってますでしょうか？

間違いがあれば訂正してください。お願いします