lim b_nが0でない極限値に収束するとき
lim(1/b_n) は収束してその極限は 1/(lim b_n)なのはおｋですか？

数列{c_n} = {1/(A_{n}+2)}が収束するんだから
数列{1/c_n} = {A_{n}+2}も収束する

だから一応おｋです

もっともチャート式のやり方のほうがまだましだと思うけど

A_n = (b_nの分数式)と書いてからb_n→3という条件を使って
極限に飛ばしてやってるだけ