>>298を満たす格子点で立方体になるものはないことが判明。従って答は8。

証明：

球面のことは忘れて簡単のため頂点の１つを原点Oとする。（一般性は失わない）
Oと辺で結ばれる立方体の頂点のうち２つを　A=(a,b,c) , B=(x,y,z)
とおくと、OA⊥OBより ax+by+cz=0　・・・(*)
ここで、(a,b,c)と(x,y,z)は
(±8,±1,±0)　の座標成分を入れかえたもの（複号任意）、
(±7,±4,±0)　の座標成分を入れかえたもの（複号任意）、
(±6,±5,±2)　の座標成分を入れかえたもの（複号任意）
のいずれかにならなければならない。
(a,b,c) = (8,1,0) , (7,4,0) , (6,5,2)　のいずれかとして一般性を失わず、
それぞれについて(*)をみたす(x,y,z)の組を考えると、
(a,b,c) = (8,1,0)　のとき　(x,y,z) = (-1,8,0) , (1,-8,0)　・・・(1)
(a,b,c) = (7,4,0)　のとき　(x,y,z) = (-4,7,0) , (4,-7,0)　・・・(2)
(a,b,c) = (6,5,2)　のとき　無し
となることが分かる。（5や7に着目して、割り切れる割り切れないなど考えればよい）
(1),(2)のときOと辺で結ばれるもう一つの頂点の座標は(0,0,±√65)でなければならず、
格子点とならない。
よって一辺が√65で頂点が格子点となる立方体は存在しない。


不備やより簡単な証明があったらよろ。