ZFCを公理とする理論を展開したいとき、その論理体系は等号を含むものを採用するのですか？

もしそうでなければ、外延性公理が、「=というよくわからない記号」と「∈というよくわからない記号」の関係を表す公理となってしまい、無意味なものになります。

実際、等号の公理がなければ、
(x=y∧x∈a)→y∈a
という命題すらも証明できない（多分……）ので困ります。