Ａ∨Ｂが証明可能⇔Ａが証明可能またはＢが証明可能を実は示したのです。
これも自分で考えたことなので判定お願いします。

←は真理表より明らか。
(補題として「ＡがＨｐ(命題論理)で証明可能⇒ＢがＨｐで証明可能」→「ＡがＨｑで証明可能⇒ＢはＨｑで証明可能」
この証明は簡単なので割愛します。証明可能であることの定義をＨｐとＨｑ両方において書き出し比べればすぐわかる。
→
補題「Ａが証明可能⇔¬Ａが証明可能でない。」
よってＡが証明可能またはＢが証明可能の否定は¬Ａが証明可能かつ¬Ｂが証明可能
(補題として「Ａ、ＢがＨｐ(命題論理)⇒証明可能ＣがＨｐで証明可能」→「Ａ、ＢがＨｑで証明可能⇒ＣはＨｑで証明可能
¬ＡがＨｐで証明可能かつ¬ＢがＨｐで証明可能→¬Ａ∧¬ＢがＨｐで証明可能は真理表よりすぐわかる。
また¬Ａ∧¬Ｂ⇔¬(Ａ∨Ｂ)は証明可能だから以上より
¬Ａが証明可能かつ¬Ｂが証明可能→¬(Ａ∨Ｂ)は証明可能
対偶をとれば→がいえる。