>>360
まず、モデル理論だから当然集合論上の話です。
その場合の集合論は素朴集合論ではなくＺＦＣです。

次に、モデル理論はいわゆる数学の基礎づけを行なうものではありません。
数学の基礎づけはゲーデルの不完全性定理以降ご破算になったと考えるのが
妥当でしょう。