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数学基礎論の質問スレッド　その２

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2006/04/02(日) 11:01:04
とりあえず立てておきました。
0002１３２人目の素数さん2006/04/02(日) 11:01:53
とりあえず2getしておきました。
0003１３２人目の素数さん2006/04/02(日) 11:05:41
>>2前スレ貼りぐらいしてくれてもいいだろうに

数学基礎論の質問スレッド
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1097659610/
0004前スレ9942006/04/02(日) 21:44:28
>>前スレ995

＞>994
＞まあそうですね
＞実際に何らかの方法で真偽が確定するわけじゃありません
＞僕も最初に勉強したときには結構違和感持ちました
結構分かって来ました。レスどうも。

>>前スレ997
＞チャーチとかは自然数論に持ち込まずに不完全性を証明してる罠
出来れば教えて下さい
0005１３２人目の素数さん2006/04/03(月) 03:14:06
自然数の足し算掛け算以外にも
対角化とか不動点とかを可能にする仕掛けはありうる、
という意味なら997の言う通りだけど

自然数の足し算だけの体系が完全なのは
2chの基礎論スレではとても有名なことだし
有理数の順序とか実数体とか複素数体とか
完全な体系はいくらでもあるので、
（たぶん997が書いた993の）

> ヒルベルト論理体系に基づく公理系自体が不完全なんだからその上にある自然数の公理が不完全でも仕方ないだろ

というのを読んで

> ヒルベルト論理体系に基づく公理系自体が不完全なんだからその上にある

こと自体が不完全性を生む、と読んだならそれは誤解
0006１３２人目の素数さん2006/04/03(月) 17:04:16
>>5
＞自然数の足し算だけの体系が完全なのは
＞2chの基礎論スレではとても有名なこと

Presburger算術ってやつね。
確かゲーデルの成果の前年に出されたもの。
0007１３２人目の素数さん2006/04/03(月) 21:55:04
＞有理数の順序とか実数体とか複素数体とか
＞完全な体系はいくらでもある

実閉体じゃなかったっけ
あれを実数体の理論って言っちゃまずいんじゃないかなあ
0008１３２人目の素数さん2006/04/03(月) 23:34:36
>>7
ついでに言えば、複素数体じゃなくて代数的閉体の理論ね。
0009１３２人目の素数さん2006/04/04(火) 00:57:43
そういうなら、有理数の順序にもつっこむのが筋では？
0010１３２人目の素数さん2006/04/04(火) 01:27:29
有理数の順序って何の事を言ってるの？
0011１３２人目の素数さん2006/04/04(火) 01:31:01
dense linear order without end points
0012１３２人目の素数さん2006/04/15(土) 21:10:35
さくらスレから誘導されてきました．

「
以下は同値であるか．理由を付けて説明せよ．
(a)任意の構造Aと任意の付値ρに対して，A,ρ|=φならばA,ρ|=Ψである
(b)|=φならば|=Ψである
」

という問題で，
(a)⇒(b)は自力で示せた(と思う)のですが，
(b)⇒(a)も￢((b)⇒(a))も自力で示すことができません．
どのようにすれば良いのでしょうか?
0013１３２人目の素数さん2006/04/15(土) 21:19:48
>>12
どういう体系で考えているのかわからないが、
たぶん φ が恒真でない場合を考えてみるといいと思う
0014122006/04/15(土) 22:37:59
>>13
確かに，φが恒真の場合は(b)⇒(a)が導けるんですよね．
「φが恒真でない」というのは「あるA,ρが存在してA,ρ|≠φ」と同値で，
φが恒真でない場合で，
A,ρ|≠φを満たすようなA,ρについては「A,ρ|=φならばA,ρ|=Ψ」が成り立ちます．
問題は，
φが恒真でない場合に，A,ρ|=φかつA,ρ|≠Ψを満たすようなA,ρが存在するかどうか
だと思うのですが，自分は存在することも存在しないことも示せないでいるのです．


・・・上の考え方が既に間違っているようなら御指摘願います．
0015１３２人目の素数さん2006/04/15(土) 22:42:40
>>14
> φが恒真でない場合に，A,ρ|=φかつA,ρ|≠Ψを満たすようなA,ρが存在するかどうか
方針はそれでいいと思う。

例えば古典命題論理の場合なら
φ=p, ψ=q (p,q は命題変数)
ρ(p)=1, ρ(q)=0
とすればいいよね？
一階述語論理とかでも考え方はこれと同じじゃないかな。
0016122006/04/16(日) 00:02:51
>>15
あ，そうか，具体的な例を提示できれば良いんですね．
今までφやΨが固定されてる気がして考えてました．．
ありがとうございました，これから紙に書いてみます．
0017１３２人目の素数さん2006/04/16(日) 20:24:22
すいません。質問があります。
演繹定理はＨqでも成り立つのですか？
0018172006/04/17(月) 00:15:01
すいません
証明できましたので無視して構いません
0019１３２人目の素数さん2006/04/17(月) 14:49:47
何をどのように証明したのかがちょっと気になる。
0020172006/04/17(月) 22:08:10
>>19そんな難しくないです。
0021１３２人目の素数さん2006/04/18(火) 01:31:11
そのままの形では演繹定理が成立しないので気になるのだが。
0022172006/04/18(火) 21:49:41
>>21
言っている意味がわかりません。
0023１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 05:11:16
できたのだから、その成果をみせてほしいな。
0024１３２人目の素数さん2006/04/27(木) 08:48:40
age
0025１３２人目の素数さん2006/04/27(木) 18:41:08
http://c-au.2ch.net/test/-/doboku/i
0026１３２人目の素数さん2006/04/27(木) 21:12:49
1+2+3…99+100と順番に足していった答えを求めるための方程式のような物ってありますか？
0027１３２人目の素数さん2006/04/27(木) 21:30:10
>>4
遅レスですが、「数の体系と超準モデル」では
Tarskiの真理（定義）条項（truth (definition clauses)）とか書いてあって
単純に公理とか定義とかいう言葉は使わないようにしてありますね

結構この本の訳語は合理的な訳語が多いと思います
ただ慣用と違って一寸違和感のある用語も無いではないでしょうけど

# スレタイやっぱちょっと変えたほうが良かったような
0028172006/04/27(木) 21:56:12
>>23 閉論理式てことが必要ということですか？
それならわかります
0029１３２人目の素数さん2006/04/28(金) 14:37:21
>>26
{100(100+1)}/2
総和の公式があるよ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%8F%E5%92%8C
0030172006/05/01(月) 15:08:52
すいません。質問があります。
等号公理の逆も公理なんですか？
つまりx=y∧z∈x⇔z∈yは公理なんでしょうか？
0031１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 15:26:51
∀と∃のつけかたによる
例えば
∀x∀y∀z[x=y∧z∈x⇔z∈y]
は明らかに偽
0032172006/05/01(月) 15:57:50
ではx、y、zが自由変数のときには公理ですか？
0033１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 16:02:11
>>30
(x=y∧z∈x) ⇔ z∈y
から
z∈y ⇒ x=y
が言えてしまうのだが
0034302006/05/01(月) 16:17:21
証明したいのは次の式なのです。
∃u[(u=x∨u=y)∧t∈u]⇔∃t(t∈x∨t∈y)
でもどうやって導くかがわかりません。
0035１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 16:26:45
>>32
自由変数なら>>31で書いたのと同じことになるから公理でない
0036１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 16:28:21
>>34
その式どこから拾ってきたの？
最初のtが自由なので誤植か何かある気がするんだけど
0037302006/05/01(月) 16:34:52
本の中では∃u[(u=x∨u=y)∧t∈u]⇔∃u(t∈x∨t∈y)となっていますが、右側の式は明らかに変なので
誤植かと思いuをtに変更しました。
0038１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 16:46:17
それが余計なお世話だったわけ。
右側がそれなら証明可能。
0039１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 17:00:01
数学基礎論の良い入門書は何ですか？
0040302006/05/01(月) 17:01:12
右側は論理式なんでしょうか
0041１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 17:03:22
もちろん論理式。そうでないと思った理由は？
0042302006/05/01(月) 17:06:24
uが表れないからです。
たとえば論理式は∃xを使うときは絶対自由変数をxで置き換えますよね？
0043１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 17:14:25
「論理式 F の中の自由変数 a をすべて x で置き換える」と書いてあるとき、
F の中に自由変数 a が現れなくてもよいことに注意。
0044302006/05/01(月) 17:19:04
マジですか？
それは全く知りませんでした。それでもなぜ成り立つのかはわかりません。
0045１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 17:26:27
∀x A ∧ ∀x (A->B) -> ∀x B
とかを考えるときに、B に x が現れるかどうかを
いちいち注意するのは面倒でしょ。
0046302006/05/01(月) 19:26:58
∃u[(u=x∨u=y)∧t∈u]⇔∃u(t∈x∨t∈y)の証明方法どなたかお願いします。
概略だけでいいので。
何の推論規則使うかとかお願いします。
0047１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 21:44:26
>>46
(u=x ∧ φ(u)) ⇒ φ(x) は使っていいのか?
とりあえず ⇒ の概略

上を使って
u=x∧t∈u ⇒ t∈x
u=x∧t∈u ⇒ t∈x∨t∈y　(∨導入)
u=x∧t∈u ⇒ ∃u(t∈x∨t∈y)　(∃導入)
同様に
u=y∧t∈u ⇒ ∃u(t∈x∨t∈y)
上2式に∨消去を使うと
(u=x∧t∈u)∨(u=y∧t∈u) ⇒ ∃u(t∈x∨t∈y)
((u=x∨u=y)∧t∈u) ⇒ ∃u(t∈x∨t∈y)
∃u((u=x∨u=y)∧t∈u) ⇒ ∃u(t∈x∨t∈y)　(∃消去)
0048302006/05/01(月) 21:54:25
>>47誠に丁寧にありがとうございます。
よくわかりました。
0049１３２人目の素数さん2006/05/02(火) 01:35:26
意味を考えたら明らかに証明できそうにないってわかりそうなものだけどね
0050302006/05/02(火) 02:22:10
できれば←の方の証明もお願いします。
0051１３２人目の素数さん2006/05/02(火) 13:42:38
>>50
∀x∃u(u=x)
が証明できればいいけど、よく分からん

ZFなら分出公理と外延性公理から証明できるけど、
もっと簡単な証明がある気がする
誰か教えて
0052１３２人目の素数さん2006/05/02(火) 13:46:47
x=x,∃u(u=x),∀x∃u(u=x)
0053１３２人目の素数さん2006/05/02(火) 15:29:07
>>52
そっか、それでいいのか、㌧

>>50
まず
(x=u∧φ(x)) ⇒ φ(u)
から
φ(x) ⇒ (u=x ⇒ φ(u))
が出る

上から
t∈x ⇒ (u=x ⇒ t∈u)
u=x を仮定して、命題論理から
t∈x ⇒ (u=x∨u=y)∧t∈u
同様に u=y を仮定して
t∈y ⇒ (u=x∨u=y)∧t∈u
上2式から∨消去
t∈x∨t∈y ⇒ (u=x∨u=y)∧t∈u
t∈x∨t∈y ⇒ ∃u((u=x∨u=y)∧t∈u)　(∃導入)

∀x∃u(u=x) から∀消去で ∃u(u=x)
∃消去で、u=x, u=y の仮定を落とす
t∈x∨t∈y ⇒ ∃u((u=x∨u=y)∧t∈u)
∃u(t∈x∨t∈y) ⇒ ∃u((u=x∨u=y)∧t∈u)　(∃消去)
0054502006/05/02(火) 19:28:03
誠にありがとうございます。
よくわかりました。
0055502006/05/02(火) 21:17:31
たびたびすいません。
(x=u∧φ(x)) ⇒ φ(u) の証明はどうやるのでしょうか？
0056１３２人目の素数さん2006/05/02(火) 21:36:17
それ、イコーリティー公理でございます。
もう人に訊く範囲をこれてます。
0057１３２人目の素数さん2006/05/02(火) 21:53:10
>>55
普通はそれと同等なものが公理として入ってるはずだから、
よく調べてみ

形が
x=u ⇒ (φ(x)⇒φ(u))
になってたり、
名前が外延性公理になってたりするかもしらん
(例えば 竹内外史 「現代集合論入門」)
0058１３２人目の素数さん2006/05/03(水) 00:47:41
>>55
等号公理の述べ方もいろいろあるけど、一番シンプルなパターンで
与えられているなら φ(x) の構成に関する帰納法で証明する必要がある。
0059１３２人目の素数さん2006/05/03(水) 02:14:00
お初です。よろしくおねがいします。
(a1 O )(b1 O )
( a2 )( b2 )
( … )( … )
(　O an)( O bn)

が
（a1bi O ）
（ a2b2 ）
（ … ）
（ O anbn）

答えしか書いてなくて↓
解説お願いします
0060502006/05/03(水) 03:26:17
>>58親切にありがとうございます。
そのやり方でがんばってみます。
0061１３２人目の素数さん2006/05/04(木) 07:52:06
数学基礎論って英語でなんていうの？
0062１３２人目の素数さん2006/05/05(金) 00:02:12
foundation of mathematics
0063１３２人目の素数さん2006/05/05(金) 07:30:29
foundations of mathematics というのが普通だろう。
foundation of mathematics だと数学を基礎つける Meta Theory のような
意味で分野の名前ではないと思う。
0064１３２人目の素数さん2006/05/05(金) 08:59:33
検索したら数学入門的講義のタイトルとしてもfoundation of mathematicsは使われてるみたいね
0065１３２人目の素数さん2006/05/05(金) 13:36:35
河合文化教育研究所から出てる数学基礎論シリーズはどうですか？
全２０巻刊行開始と書いてあったが６冊ぐらいしか出ていないようですが。
0066１３２人目の素数さん2006/05/08(月) 05:41:57
数学基礎論シリーズは、誤植が多いけれど良い本。
0067１３２人目の素数さん2006/05/08(月) 07:36:46
誤植そんなに多いかな
0068１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 11:30:12
>>67
ぼけっと読んでても気がつくくらい多い。
0069１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 11:30:44
>>61
普通は logic
0070１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 12:51:04
20巻は絶対ありえないだろうな
0071１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 22:12:18
>>69
しかしそれだと logic と FoM との区別にこだわる人が怒りそうな悪寒…
0072１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 00:37:12
すいません。質問があります。
論理式Ａ、Ｂに対して次は正しいですか？
「Ａが証明可能⇔Ｂが証明可能」
⇔「Ａ⇔Ｂが証明可能」
0073722006/05/11(木) 00:38:34
すいません。上はＨqで考えてます。
0074１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 01:05:00
ああ、まあね
でも度数法が一周を360度としてるのは天文学的な意味しかないわけで
純数学的には、任意の数A>0でも同じことですよ
（いや、地球の公転半径、太陽と地球の質量や重力定数その他諸々の数値には
数学的、論理的な必然性があって、これは他の値であることは数学的にありえないのだ、
って話だったら違うだろうけど）

でも3次元の立体角の単位はradianじゃなくてsteradianですけどね
これも弧度法って言うんだろうか
言わない人のほうが多いような
0075１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 02:30:08
H_qってあまり一般的な記号法でもないので
いきなりH_qですなんていっても何のことかわからないんだが、、

>>72
ええと、言語は固定するんだよね
公理となる論理式、、も固定するんだよね？

するなら独立命題Cが存在するような公理系をとってきて
AをC、Bを￢Cとすれば反例になるような気がするけど、、
0076722006/05/11(木) 04:54:53
次の証明方法が間違っているか判定していただきたい。

←の方は公理Ａ→(Ｂ→Ａ)とＢ→(Ａ→Ｂ)より明らかに成り立つ。
→の方はＢ∨￢Ｂが証明可能だからまずＢが証明可能と仮定するとＡ→Ｂは証明可能。
また￢Ｂが証明可能だと仮定すると仮定より￢Ａが証明可能。よって￢Ｂ→￢Ａが証明可能
以上よりＡ→Ｂ証明可能となる。
同様にしてＡ∨￢Ａが証明可能であることを使ってＢ→Ａも証明可能が示される。
0077722006/05/11(木) 04:57:36
Ｈｑというのは第一階述語論理の上の形式的体系のことです。
0078722006/05/11(木) 05:01:48
すいません。間違えました。
訂正。
←の方はmodus ponensより明らかに成り立つ。
→の方はＢ∨￢Ｂが証明可能だからまずＢが証明可能と仮定するとＡ→Ｂは証明可能。
また￢Ｂが証明可能だと仮定すると仮定より￢Ａが証明可能。よって￢Ｂ→￢Ａが証明可能
以上よりＡ→Ｂ証明可能となる。
同様にしてＡ∨￢Ａが証明可能であることを使ってＢ→Ａも証明可能が示される。

0079１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 09:01:01
>>78
>  →の方はＢ∨￢Ｂが証明可能だからまずＢが証明可能と仮定するとＡ→Ｂは証明可能。  
>  また￢Ｂが証明可能だと仮定すると仮定より￢Ａが証明可能。よって￢Ｂ→￢Ａが証明可能  
>  以上よりＡ→Ｂ証明可能となる。  

Ｂも￢Ｂも証明可能でないときが抜けてる
0080１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 11:58:22
ですね
A∨Bが証明可能だからといってAかBかのどちらかが証明可能であるとは
（ふつうの古典論理では）言えない

非常に重要なポイント
0081722006/05/11(木) 17:57:33
Ａ∨Ｂが証明可能⇔Ａが証明可能またはＢが証明可能を実は示したのです。
これも自分で考えたことなので判定お願いします。

←は真理表より明らか。
(補題として「ＡがＨｐ(命題論理)で証明可能⇒ＢがＨｐで証明可能」→「ＡがＨｑで証明可能⇒ＢはＨｑで証明可能」
この証明は簡単なので割愛します。証明可能であることの定義をＨｐとＨｑ両方において書き出し比べればすぐわかる。
→
補題「Ａが証明可能⇔￢Ａが証明可能でない。」
よってＡが証明可能またはＢが証明可能の否定は￢Ａが証明可能かつ￢Ｂが証明可能
(補題として「Ａ、ＢがＨｐ(命題論理)⇒証明可能ＣがＨｐで証明可能」→「Ａ、ＢがＨｑで証明可能⇒ＣはＨｑで証明可能
￢ＡがＨｐで証明可能かつ￢ＢがＨｐで証明可能→￢Ａ∧￢ＢがＨｐで証明可能は真理表よりすぐわかる。
また￢Ａ∧￢Ｂ⇔￢(Ａ∨Ｂ)は証明可能だから以上より
￢Ａが証明可能かつ￢Ｂが証明可能→￢(Ａ∨Ｂ)は証明可能
対偶をとれば→がいえる。
0082722006/05/11(木) 18:15:35
実は他にも補題として「Ａ⇔Ｂが証明可能」⇒「Ａが証明可能⇔Ｂが証明可能」
とかいろいろ使ってます。
でも全部いちょう自分流に示してあるのでわからないことがあったら言ってください。
0083722006/05/11(木) 18:17:00
間違えました。正しくは
「Ａ⇔Ｂが証明可能」⇔「Ａが証明可能⇔Ｂが証明可能」
0084１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 21:19:34
>>81
Ａ∨Ｂが証明可能⇔Ａが証明可能またはＢが証明可能を実は示したのです。
0085１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 21:21:19
>>81
ええと、数学的な公理は含まないとしていいのかな？
議論の前提がはっきりしないけども

AとかBは一般の命題ですか？
それだったら成り立たないはずですよ
新しい述語記号P（何変数でもいいけど、まあ一変数だとしましょう）と
定数記号aを付け加えて、数学的公理としては何も付け加えないとします
このときP(a)∨￢P(a)は証明できるけどP(a)も￢P(a)も証明できません

というか不完全性定理ってご存知ですか？
あれを知っていれば、ご自分がどっかで間違ってるって分かりますよ
0086１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 21:22:14
＞「Ａ、ＢがＨｐ(命題論理)⇒証明可能ＣがＨｐで証明可能」
これは
Ａ、ＢがＨｐ(命題論理)で証明可能⇒ＣがＨｐで証明可能
の間違いですか
0087722006/05/11(木) 22:01:51
＞＞86そうです。
すいません。
＞＞85反例ではなくできれば、僕の考え方のどこが間違っているかを指摘していただきたい。
0088１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 22:10:27
＞補題「Ａが証明可能⇔￢Ａが証明可能でない。」
これの←がそもそも間違ってるはずですが、
どこにその証明が書いてあるのか
判別できないのでなんとも言いようがないんですが、、
0089722006/05/11(木) 22:23:35
Ａが証明可能⇔￢Ａが証明可能を示します。
→
もしＡが証明可能であると仮定したとき￢Ａが証明可能だと仮定すると
Ａ∧￢Ａが証明可能となる。(先程の補題参照)
しかしそれはＨｑが無矛盾であることに矛盾。
よってＡが証明可能ならば￢Ａは証明可能ではない。
←Ｈｑで￢Ａが証明可能でないときＨｐでも￢Ａは証明可能でない。
よってＡはＨｐで証明可能(真理表)よってＡはＨｑで証明可能
0090１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 22:37:33
H_pで証明できる、というのH_pの範囲の公理だけを使って証明できる
H_qで証明できる、というの述語論理で追加された公理、及び推論規則
（まあ追加の推論規則はMPが既にあるから公理の形に書いてもいいわけですが）
を用いて証明できる、ということですよね

＞←Ｈｑで￢Ａが証明可能でないときＨｐでも￢Ａは証明可能でない。
＞よってＡはＨｐで証明可能(真理表)よってＡはＨｑで証明可能
これが間違いですねえ、、

というか、Aを勝手に取ってきた命題変数とすれば￢A自体は
A∨￢Aと違ってトートロジーでも何でもないから証明できないわけですが、
だからAが証明可能、とはならないよね
(真理表)ってのが何を言いたいのか知らんけど、
￢Aのtrugh valueが任意の付値の与え方に対してtrueとなる
の否定は、￢Aがfalseとなる付値の与え方が（少なくとも1個）存在する、であって
￢Aが任意の付値の与え方に対してfalseとなる（
⇔Aのtruth valueが任意の付値の与え方に対してtrueとなる）

じゃないですからね

恒真と真の違いが理解できていないってことでしょうか
0091722006/05/11(木) 23:03:24
＞＞90
もしかしてＡが命題変数のときＡがトートロジー⇔￢Ａはトートロジーでない
は成り立たないですか？

0092１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 23:22:04
ええと、、命題変数A自身は、Aを偽にするような付値を与えれば
明らかに偽になるのでそもそもトートロジーになりえないですが、、

論理式(（A→B）→A)→Aみたいな複合命題を表す論理式は
トートロジーになる可能性がありますが、、

で、φを論理式としたときに、
￢φはトートロジーでない⇒φはトートロジー
は成り立たないです（命題論理でも）
0093１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 23:46:38
命題論理でもっていうか、述語論理ではあまりトートロジーって言い方はしないのかな
恒真な論理式とか
0094722006/05/11(木) 23:48:25
できればφを論理式としたときに、
￢φはトートロジーでない⇒φはトートロジーの反例をお願いします。
0095１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 23:56:52
命題変数Aとか
A→B（BはAとは異なる命題変数）とか

要するに、付値の与え方によって偽にもなり得るから
トートロジーじゃないけど、真になるような付値もあるような、
恒真、恒偽以外のごく普通の式だったら何でも良い
0096722006/05/12(金) 00:50:53
何が間違っているかよくわかりました。
ありがとうございました。
疑問があります。「Ａ⇔Ｂが証明可能」⇒「Ａが証明可能⇔Ｂが証明可能」
は正しいですか？
0097１３２人目の素数さん2006/05/12(金) 00:55:34
そっちは正しい
0098722006/05/12(金) 00:56:04
あとＡが証明可能かつＢが証明可能⇔Ａ∧Ｂが証明可能の方は成り立つんですよね？
0099１３２人目の素数さん2006/05/12(金) 01:10:24
うん
そっちはおｋ

直観主義論理では
Ａが証明可能またはＢが証明可能⇔Ａ∨Ｂが証明可能
も成り立つんだけどね(松本和夫の本ならcf.p106)
0100722006/05/12(金) 01:33:12
たびたびすいません。「Ａ⇔Ｂが証明可能」←「Ａが証明可能⇔Ｂが証明可能」は成り立たないですよね？
0101722006/05/12(金) 02:44:25
すいません。
またわからないことがあるのですが、
田中尚夫さんの「公理的集合論」で補題2.3.3で
「{ｘ、ｙ}＝{ｘ、ｚ}→ｙ＝ｚ」
を示すのに
ｙ＝ｘのときと￢(ｙ＝ｘ)のときで場合分けしてるのですが
「Ａ∨￢Ａ証明可能⇒Ａが証明可能またはＢが証明可能」が成立しないことを考えると
変じゃないですか？
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