で、p.29くらいから。

E_1が体であることを示すためには、逆元の存在をいえばよい。
E_1の２つの元g(ξ)≠0とh(ξ)が与えられたときにg(ξ)X(ξ)=h(ξ)となるE_1の要素
X(ξ)=x_0+x_1ξ+...+x_{n-1}ξ^{n-1}の存在を示そう。
g(ξ)X(ξ)を計算し、関係式f(ξ)=0を使って次数下げすると、L_0+L_1ξ+...+L_{n-1}ξ^{n-1}、
ただしL_iはK係数のx_0,...,x_{n-1}の一次結合としてかける。
h(ξ)の係数をb_iとおけばn未知数（x_0,...,x_{n-1}）連立方程式
L_0=b_0, ..., L_{n-1}=b_{n-1}
をえる。一般にAx=bが唯一解をもつのはAx=0が自明解しかもたないのと同値なので、
L_0=0, ... , L_{n-1}=0
が自明解しかもたないことを示せばよい。
これに対応する式はg(ξ)X(ξ)=0であり、E_1における積の定義からこれは左辺がf(ξ)で割り切れることを意味するが、
>>73の補題よりX(ξ)=0でないと成り立たない。
よってE_1が体であることが示された。