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数学の本を一日2pくらい読むスレ

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0001１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 00:00:04

一つの本を決めて、皆で一日に2pくらい読んでいくスレです

0002１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 00:04:36

2pというのは、あまり時間が無い参加者でも比較的楽に読めるように決めました
一週間に15pくらいなので、まあこれくらいの進度なら
少し後から参加する場合でも追いつけるし時間が無い人でもなんとかなるかな、と

理想としてはゼミみたいなことが出来ればいいな、と思いますが
ただ、そうは言っても黒板に書いたり或いは口頭で発表したりするのに比べて
掲示板に投稿するのは同じことを伝えるにしてもより大変ですし、
あまり多くの内容を書けないので、全く同じ事は出来ないと思います

例えば定理の証明のこの部分が分からない、とか、あるいは他の本で
別証明を調べたり、XXは満たすけどXXは満たさない例、を作ってみたり
他の本から関連する問題を持ってきたり、
あるいは自分では答えは分からないけど、成り立つのかどうか気になる命題を書いてみたり、
とか言ったことが考えられます

0003１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 00:06:08

wktk

0004１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 00:14:33

読む本の候補としては、例えば

代数方面なら
松村英之「代数学」http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4254114184/qid=1143904094/sr=1-2/ref=sr_1_10_2/503-9736259-4720736
　（或いは堀田良之「代数入門」http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4785314028/qid=1143903267/sr=1-2/ref=sr_1_10_2/503-9736259-4720736とか）、
Atiyah & Macdonald（面白そうですが、一寸難しいような気がします）

幾何方面なら
シンガー・ソープ「幾何学とトポロジー入門」http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4563001503/qid=1143904116/sr=1-1/ref=sr_1_10_1/503-9736259-4720736
原著もSpringerから出ています

解析方面なら
E.Cartan「Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables」
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486685438/qid=1143904148/sr=1-2/ref=sr_1_10_2/503-9736259-4720736
スピヴァックの「多変数解析学」（良い本らしいですが、今は和訳は絶版のようです）

などはどうでしょうか
個人的に松阪さんの本はあまりやりたくないかなｗ

00051

2006/04/02(日) 00:19:02

失礼
名前入れたほうが良かったですね

明日中に候補を募集して
2006/04/02(日) 23:58:00～2006/04/03(水) 00:00:00あたりに票決して
その次の日からさっそく始める、ということでどうでしょう？

4月はじめで、新入生の人も多いので人が集まるかな、と思って立ててみました
これまではこの種の試みは失敗している例が多いようですが、成功するように頑張りましょう

まあ、万が一人が一人も来なければ私が一人だけでもやるのであまり気にしないで下さいｗ

0006１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 00:19:39

自分のペースでやるのが一番いい。
なぜ、おまえらオチこぼれ2chネラーにあわせねばならぬ？
早くキャップ付けの仕事に戻れ！

0007１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 00:24:59

とりあえず頑張れ
しばらく様子見してみるよ

0008１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 00:33:27

俺は2Pも進まないことがあるな。
どうしてもわからない証明があってずっと考えてたら、全然進まないなんてことはザラにある。

0009１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 00:48:22

>>1
一日2ページで長い本読むのは間違いなく失敗するので、
思い切ってめっちゃ短いのにした方がいいかと。
もしもこの成功すれば二冊目行けばいいんだし。ぶっちゃけ失敗すると思うわっなにをsfbvtgvんdん
あとスピヴァックは既にスレがある(あった)。

とりあえず100ページ以下の本とか
E.Artin "Galois Theory" 86p
J.Milnor "Topology from the Differentiable Viewpoint" 76p
K.Godel "On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems" 80p

0010１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 01:04:03

堀田orシンガーorスピヴァックなら持ってるので何とか

00111

2006/04/02(日) 01:21:17

うーん、短い本にしたほうがいいのはそうでしょうねえ。。
そう思って200pくらいの本を選んだんですが、
確かに100p以下の非常に短い本を選んで一気に読んでしまうべきかもしれません

Milnorは面白そうですが、一寸難しそうだなあ。。
東大で以前全学ゼミでやったところ全然進まなかったらしいし

0012１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 11:21:14

1日２ページは多すぎるだろ
せめて１週間1ﾍﾟｰｼﾞ程度にしないと常人にはとてもついていけない

0013１３２人目の素数さん

2006/04/02(日) 22:52:58

Artinならやってもいいお

0014１３２人目の素数さん

2006/04/03(月) 00:02:26

応援age

誰でも参加できるように、ネット上にうｐされてるものを取り上げてくれると嬉しい。
そんな都合のいいものがあるのか知らないけど。

00151

2006/04/03(月) 17:41:10

すいません、昨日は一寸寝ちゃって。。（汗

一日2pは若しかしたらちょっと多すぎるかもしれませんが
それにしても週1ページはさすがに遅すぎるのではないかと、、
"Topology from the Differentiable Viewpoint"読むのに1年半、
"トポロジーと幾何学入門"とかだと5年以上とかかかりますし。。

少なくとも一日1p、週5pくらいは進まないと読み終わらないと思います

00161

2006/04/03(月) 18:14:42

Godelの"On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems"
は確かに古典としては価値があるかもしれませんが、これよりは
"What Is Mathematical Logic?"John N. Crossley
のほうが為になる気がします？

しかし 100p以下の数学の本ってやっぱりあまり無いですねえ。。

オンラインの講義ノートは
ttp://www.math.fsu.edu/Virtual/のOnline Books
ttp://www.damtp.cam.ac.uk/user/studrep/res/notes.html
とかにリンクされてるページがそうだと思います
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1021255236/
なんかにもいくらか紹介されていますね
確かに誰にでもavailableで良いと思うんですが
中々良いのが無いような感じがします

もっと探せば見つかるのかも知れないけど。。

00171

2006/04/03(月) 18:27:17

今思いついたんですけど、
竹内端三の函數論とかを少しずつ掲示板にうｐしていうという方法はあるかもしれません
寺沢寛一の数学概論とかも、本当は著作権は切れてるはずなんだけど
これは岩波からまだ出てるからなあ。。

著作権切れの本をうｐするのも、どうしても選択肢が限られてしまいますね

0018１３２人目の素数さん

2006/04/04(火) 00:17:26

↓こういうのやったらどう思うよ?
http://www.uploda.org/uporg355589.ps.html

#著作権切れは2012年なんだが。

0019１３２人目の素数さん

2006/04/04(火) 00:22:16

数学の風景シリーズってどう？２ページずつでなくてもいいけど。マニアック過ぎ？

00201

2006/04/05(水) 20:11:22

色々考えましたがやっぱり長いのは失敗しそうなので
ArtinかMilnorでもやろうか、と思いますがどうでしょうか

もしMilnorをやる場合参加者はどれくらい居るのかなあ。。
Milnorは日本語訳で良ければArtinより本は手に入りやすそうですが
でも大学生協とかが近くにあれば、手軽に変えるのは
Artin（\800くらい）なんですよねえ。。

うーむ

002113

2006/04/06(木) 01:17:39

これから読むつもりだったからArtinに期待age

0022１３２人目の素数さん

2006/04/06(木) 01:39:05

>>17
＞竹内端三の函數論

どうせなら竹内端三の『楕圓凾數論』がいい。

0023１３２人目の素数さん

2006/04/06(木) 04:32:15

1日2ページはいくらなんでも少なすぎでは

00241

2006/04/06(木) 21:37:30

一寸少ないかと思ったんですが
あまり時間をさかなくても出来て（他にも勉強することあるのが普通でしょうし）、
多少サボってても追いつけるにはこれくらいを限度にするのがいいかな、と

ArtinとかMilnorだと、2p/dayでも一ヶ月もあれば終わりますし

00251

2006/04/07(金) 21:15:29

じゃあ来週の月曜あたりからArtin"Galois Theory"やりましょうか

1p.から初めて2頁/日くらいで
（この本でこのペースは少々少なすぎるかもしれませんが…）

>>18
あれれ、、
どっかであの本は解析概論より古い、と書いてあるのを
見たことがあったので、それでそういう先入観が出来ちゃったのかもしれません…

失礼

002613

2006/04/08(土) 00:29:03

線型代数の復習だけで終わりたくは無いのう...
実は高校生なんで(行事盛り沢山で)こんなことやってる場合じゃないんですけど、
少しは来れるようにがんばりますわ。

0027１３２人目の素数さん

2006/04/08(土) 02:55:07

net上に原文はないの？
それはつらいよ。

00281

2006/04/08(土) 15:20:03

Web上に良い講義ノートが転がっていればいいんですが。。

0029１３２人目の素数さん

2006/04/08(土) 23:20:35

amazon.co.jpで24時間以内に発送 \872

00301 ◆ulr7TWudvE

2006/04/11(火) 04:28:46

夜遅くですがこんばんは
今日あたりから始めようかな、と。。

日本語版は使えるけど英語版は手元に無い人も
いらっしゃるかもしれませんので目次のページ数載せておきます

もし休みなく進めばIIまで一月ほどで終わる、、はずです

00311

2006/04/11(火) 04:29:18

(*の付いているのは初版から付け加えられた節である)

I 線型代数
A. 体 1
B. 線型空間 1
C. 斉次（連立）一次方程式 2
D. ベクトルの独立と従属 4
E. 非斉次（連立）一次方程式 9
F.* 行列式 11
II 体論
A. 体の拡大 21
B. 多項式 21
C. 代数的元 22
D. 分解体 25
E. 多項式の既約因子への一意な分解 30
F. 群指標 34
G.* 定理13の応用と例 38
H. 正規拡大 41
I. 有限体 49
J. 1の冪根 56
K. Noether方程式 57
L. Kummer体 59
M. 単純拡大 64
N. 標準基底の存在 66
O. 自然な無理性に関する定理（？） 67
III 応用（by A.N.Milgram）
A. 可解群 69
B. 置換群 70
C. 冪根による解法 72
D. n次の一般的な方程式 74
E. 素数次の解ける方程式 76
F. 定規とコンパスによる作図 80

0032１３２人目の素数さん

2006/04/11(火) 04:46:18

>>30
線形代数の章は飛ばしてもいいんじゃない？

00331

2006/04/11(火) 04:50:04

訳語は結構適当なので間違っているかもしれません

さて、
2p/日なので最初は1p～2pですが特に大したことはなくて
A.で体、B.でベクトル空間、C.の最初で斉次の連立方程式の定義がしてあるだけです

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93

ただし、この本では単に体と言ったときに
0≠1、乗法の可換性を仮定しません
乗法が可換でない体（多元体とか加除環とか斜体は全部同じ意味だそうです）の例としては
（まだ出てきてませんが）行列式が0でないような2次行列の集合とかがそうです
同工異曲ですが、四元数の集合とかがあります
ほかになんか良い例ありますかね

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0

当然以後線型空間を考える際にも、乗法が可換でないことを
考慮しなければいけないということになります
（乗法の可換性を仮定しないメリットって何かあるのかな？）

00341

2006/04/11(火) 04:54:25

>>32
飛ばしたほうが良いですかね？

恐らくF.行列式の10ページ分くらいは飛ばしてもあまり問題ないのかな、と思いますけど

線型代数の勉強するときに、乗法の順番に気をつけて
勉強してなかったので一寸不安ですが、うーむ

0035１３２人目の素数さん

2006/04/11(火) 05:34:37

>>34
進めていくうちで分からなくなったら、適宜参照するぐらいでいいと思う。
でも1さんが不安なら、やってもいいと思う。お任せします。

00361

2006/04/13(木) 07:24:32

すいませんまた間が空きました
今晩(4/13)くらいから始めましょうか

線型代数飛ばしてII Aからやりましょうか

ただ、もし万が一斜体上の線型代数を意識することが必要になった場合は
（まあまず無いと思いますが）戻るという選択肢もあって良いですよね
多分大丈夫だと思いますが

0037１３２人目の素数さん

2006/04/14(金) 22:51:30

　　　∧∧
　　（　･ω･）
　＿|　⊃／(＿＿_
／　└-(＿＿＿_／
￣￣￣￣￣￣￣

　＜⌒／ヽ-、_＿_
／＜_/＿＿＿＿／

0038 ◆ulr7TWudvE

2006/04/14(金) 23:01:23

あ、ごめんなさい
昨日は寝てしまって。。ｗ

ちょっと今酔ってるので酔いが醒めたら。。

00391 ◆ulr7TWudvE

2006/04/16(日) 01:46:40

すいません、最近忙しくて。。
月曜からさらに忙しそうですが。。orz

ええと、21p、22pからはじめるんでしたね
線型代数の部分に関しては、11pにこれからの章では
斉次方程式に対する定理 I の結果と線型独立の概念のみがわかっていればよい、
とか書いてあるので多分問題ないと思います

21pと22pは、体の拡大の説明と拡大次数の定義、
F⊆B⊆Eのときに(E/F)=(B/F)(E/B)が成り立つことの証明ですね

00401

2006/04/16(日) 02:02:27

図書館で日本語版（原著1版の邦訳）借りてきました
訳者の寺田先生が演習問題付けてくれてるので
パクって転載しようかなとｗ

しかし、どうやら体論のはじめに
以下で扱う体は可換体であると仮定する．
とか書いてあって、個人的に妙に気になりますね
原著2版では可換だとは特に仮定していないようですが、、

問題 1-1 √2、√3、√6は有理数体に属さないことを示せ．
問題 1-2 Qを有理数体とするとき
　　　　Q(√2) = {a + b√2 ; a, b∈Q}、(Q(√2)/Q) = 2
　　を証明せよ．
問題 1-3 ωを1の立方根(-1 + √3i)/2とするときQ(ω) = Q(√3i)を示せ．
　　(Q(ω)/Q)はいくらか．
問題 1-4 Qを有理数体とするとき(Q(√2, √3)/Q)を求めよ
問題 1-5 K⊆B⊆Eを3つの有限次元拡大体の列とするとき次を証明せよ．
(1) (B/K) = 1 ⇔ B = K
(2) (E/K) = (E/B) ⇔ B = K
(3) (B/K) = (E/K) ⇔ E = B
問題 1-6 (E_1/K) = p、(E_2/K)= qでp、qが素数ならばE_1 = E_2または
　　E_1∩E_2 = Kであることを示せ．

0041１３２人目の素数さん

2006/04/23(日) 21:16:47

　＜⌒／ヽ-、_＿_
／＜_/＿＿＿＿／

0042１３２人目の素数さん

2006/05/13(土) 20:56:47

181

0043１３２人目の素数さん

2006/05/26(金) 14:25:34

397

0044１３２人目の素数さん

2006/05/29(月) 13:24:55

過疎ってるね。１は順調に進んでるんですかねー。
簡単な演習問題をどぞー
問題１　[F(α)：F]が奇数ならF(α)＝F(α^2)であることを示せ。
問題２　K∩L＝Fであるが[KL：F]＝[K：F][L：F]とはならない
　　　　　有限次拡大の例を作れ。
問題３　p_1，・・・，P_2を相異なる素数とするとき
　　　　　[Q(√p_1，・・・，√p_n)：Q]を計算せよ。

0045１３２人目の素数さん

2006/06/06(火) 03:37:08

age

0046１３２人目の素数さん

2006/06/13(火) 00:23:46

こんなとこにもkingはくるのかな

0047GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2006/06/13(火) 09:45:42

talk:>>46 私を呼んだだろう？

0048１３２人目の素数さん

2006/06/13(火) 17:05:41

>>47
すごいね
どうやってkingって見つけてるの？何かツールとか使ってる？

0049GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2006/06/13(火) 17:39:25

talk:>>48 Jane Doe Style.

0050１３２人目の素数さん

2006/06/13(火) 19:07:01

>>49
king
もしかして数学版全部のスレ開いてるの？

0051１３２人目の素数さん

2006/06/13(火) 19:35:28

たぶんね。
ためしにdat落ち寸前の過疎スレにsageでkingって打ってみな。
俺はやらないけど。

0052GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2006/06/13(火) 21:48:44

talk:>>50 私を呼んだだろう？
talk:>>51 何考えてんだよ？

0053１３２人目の素数さん

2006/06/14(水) 09:24:03

>>52
お呼びじゃない！
（サゲは任せた！！）

0054１３２人目の素数さん

2006/06/16(金) 02:29:39

349

0055１３２人目の素数さん

2006/06/16(金) 03:57:51

kingもStyleかよ
うへっ

0056GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2006/06/16(金) 07:38:30

talk:>>55 私を呼んでないか？

0057１３２人目の素数さん

2006/06/16(金) 11:05:33

ムシキング

0058１３２人目の素数さん

2006/06/16(金) 11:40:59

こんなスレがあったんだ。
1は来ないみたいだけど、勝手に乗っ取ってもいい？
おれもへたれるかもしれんがね。
名前が出てる本で、アルティンとミルナーなら図書館で調達できそうだがどっちがいい？
それとも他にいい本ある？
>>19の数学の風景って何？

0059GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2006/06/16(金) 16:11:06

talk:>>57 私を呼んでないか？

006058

2006/06/17(土) 02:10:49

あげますよ。

全然反応ないな。
1の遺志をついでアルティンやってみるかな。
過去レス読んだら1は１章を飛ばすといって２章初めてすぐ終わってたんだね。
２章から仕切り直しが妥当かな。
平日2pの週10pくらいを目標で。
週明けの月曜日に覚えてたら始めます。
ちなみにおれがもってるのは寺田の和訳のほう。

006158

2006/06/17(土) 02:11:40

まちがった。age

006258 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/17(土) 02:16:04

てst

0063１３２人目の素数さん

2006/06/17(土) 04:46:15

杉浦光夫「解析入門」
斎藤正彦「線型代数入門」

なら参加したいなーなんて

006458 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/19(月) 17:00:33

杉浦や斎藤はここでやるには厚すぎるかなと。

で、アルティンのガロア理論。
>>31に目次があるけど、和訳のほうは問題がついてる分ページも多くなってる。
でも第２章は偶然同じp.21から。

第２章　体論
1. 拡大体

体K,EがK⊂EであるときKをEの部分体、EをKの拡大体という。
Kに含まれない元αに対し、αを含むKの最小の拡大体をK(α)であらわす。
実際にはαのK係数多項式とその商の集合。
同様にK(α,β,...)も定義できる。

006558 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/19(月) 17:07:37

K⊂EのときEはK上のベクトル空間とみなすことができる。
（和はEの和、スカラー倍はKの元倍）
その次元をEのK上の次数といい(E/K)であらわす。

定理6
K⊂B⊂Eのとき(E/K)=(B/K)(E/B)

系
K⊂K_1⊂K_2⊂...⊂K_nなら(K_n/K)=(K_1/K)(K_2/K_1)...(K_n/K_{n-1})

証明は、EのB上の基底を{α_i}、BのK上の基底を{β_j}とおけば
EのK上の基底が{α_iβ_j}であらわされることから。

006658 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/19(月) 17:12:28

で、>>40の問題がある。

1-1はよくある議論。
1-2は√2の多項式がa+b√2で表され、商も分母の有理化によって同様の形に変形できることから証明できる。

006758 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/19(月) 17:22:14

1-3：ω∈Q(√3i)よりQ(ω)⊂Q(√3i)、√3i=2ω+1∈Q(ω)よりQ(√3i)⊂Q(ω)
1-2より(Q(ω)/Q)=2
1-4:Q(√2,√3)={a+b√2+c√3+d√6}より4
1-5:(1)1次元ベクトル空間はスカラー体だから自明。
(2)(3)は(1)と定理６より導かれる。

006858 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/19(月) 17:33:04

1-3：ω∈Q(√3i)よりQ(ω)⊂Q(√3i)、√3i=2ω+1∈Q(ω)よりQ(√3i)⊂Q(ω)
1-2より(Q(ω)/Q)=2
1-4:Q(√2,√3)={a+b√2+c√3+d√6}より4
1-5:(1)1次元ベクトル空間はスカラー体だから自明。
(2)(3)は(1)と定理６より導かれる。
1-6:K ⊂ E_1∩E_2 ⊂ E_1よりp=(E_1/K)=(E_1/E_1∩E_2)(E_1∩E_2/K)
pは素数だから(E_1/E_1∩E_2)=1または(E_1∩E_2/K)=1。
後者ならE_1∩E_2=Kでおk、前者のときE_1=E_1∩E_2だからE_1⊂E_2、また(E_1∩E_2/K)≠1
E_2について同様の議論をするとE_1⊂E_2。

006958 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/19(月) 17:35:05

毎日こんなことやってたらきついな。
三日坊主になるかもしれん。

初日なのでage

007058 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/19(月) 20:13:55

>>44の問題が簡単に見えないんだが・・・
問題３は√(p_1^e_1 p_2^e_2 ... p_n^e_n), e_i=0 or 1の形の元が基底をなすから2^nかな。

0071１３２人目の素数さん

2006/06/19(月) 20:53:04

一日に2pくらい読んでいく　なんて、

暇人でないと　できないよね。

お前らには、じゅうぶん　できるだろ。

ただ読むだけならね。

理解したかは、別だけど。

007258 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/20(火) 17:34:04

さてと。今日はp.23-24（和訳本による）。

2. 多項式

K係数の多項式を考える。
a_iがKの要素でa_0≠0のときf(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_nの次数deg f(x)=nとする。
0でないKの元の次数は0、deg 0=-∞とする。

f(x)=g(x)h(x)でdeg g, deg h>0のときf(x)は可約であるといい、
定数でなく可約でない多項式を既約であるという。

多項式の除法は高校で習うやつと同様。
f(x)=q(x)g(x)+r(x)で、deg g > deg rとなるq, rが一意に決まる。
rをgを法としたfの剰余という。

007358 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/20(火) 17:44:12

補題　f(x)をK内のn次既約多項式とする。
このとき次数がnより小さい0でない多項式g(x), h(x)でg(x)h(x)がf(x)で割り切れるものは存在しない。

証明：背理法、そのようなg, hが存在したとし、その中でg,hの次数が最小になるものをとる。
k(x)f(x)=g(x)h(x)なるk(x)が取れる。
fは既約だからf(x)=q(x)g(x)+r(x)とするとr(x)≠0。
h(x)をかけて移項すると（以下(x)を省略）、rh=fh-qgh=fh-qkf=f(h-qk)
よってr(x), h(x)も条件を満たす多項式の組だが、deg r < deg gよりgのとり方に矛盾。

007458 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/20(火) 17:50:18

実数係数の多項式は実数根をもつとは限らないが、複素数に体を拡大すると必ず根をもつ。
これが代数学の基本定理。
さらに、拡大体である複素数の範囲で任意の多項式は１次式の積に一意的に因数分解される。
任意の体に対して同じような拡大体の存在を保証するのが後に出てくるクロネッカーの定理だそうだ。

ここまででほぼ２ページ。このあと問題が続くけどまたあした。

007558 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/20(火) 17:55:01

>>44の問題２を考えてみた。
{α_i}がKの基底、{β_j}がLの基底なのに{α_iβ_j}が一次独立にならないようなもんを考えればいいんだろうな。
有理数にいくつか無理数くっつけて試してみたけどうまくいかない。
もうちょっと考えてみる。

007658 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/20(火) 18:00:09

age

007758 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/21(水) 18:01:44

こんにちは。今日はp.25、２節の問題からです。

問題2-1
K内の２つの多項式f(x), g(x)≠0に対して
f(x) = q(x)g(x) + r(x), deg r<deg g
となるq(x), r(x)が一意に定まることをf(x)の次数についての帰納法で示せ。

次数についての帰納法で示せばいいので省略。

007858 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/21(水) 18:05:55

問題2-2
体Z_7={0,1,2,3,4,5,6}において次の各方程式を満足する要素を求めよ。
(1) 3X=4
(2) X^2+X+1=0
(3) X^2-3=0

解：(1) X=3^{-1}4=6
(2)左辺を平方完成するらしい。
（左辺）=(X+2^{-1})^2-(2^{-1})^2+1=(x+4)^2-1
２乗して1になる元は1,6よってX=2,4
(3)２乗して3になる元はないので解無し。

007958 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/21(水) 18:14:12

問題2-3
整数係数のxの多項式全体をZ[x]とする。
f(x)がaで割り切れることをa|f(x)で表す。
素数pに対しp|g(x)h(x)ならばp|g(x)またはp|h(x)であることを示せ。

解：背理法による。
成り立たなかったとしてg(x)=b_0+b_1x+..., h(x)=c_0+c_1x+...とおくと、
pで割り切れない最初の係数b_iとc_jが取れる。
x^{i+j}の係数は
b_0c_{i+j}+b_1c_{i+j-1}+...+b_{i+j}c_0
であり、b_ic_j以外の項はすべてpで割り切れるのに、b_ic_jのみ割り切れない。
よってg(x)h(x)もpで割り切れない。
背理法じゃなくて対偶を示してた。

008058 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/21(水) 18:49:41

問題2-4
f(x)∈Z[x]が有理数係数の多項式g(x),h(x)の積に分解されるならば、
実はZ[x]の２つの元の積にも分解できることを示せ。
また特にf(x)の最高次係数が1ならば分解する多項式の最高次係数も1であることを示せ。

解：f(x)=g(x)h(x), g(x),h(x)∈Q[x]であるとする。
係数の分母の最小公倍数をa,bとすると、g(x)=ag0(x), h(x)=bh0(x), g0(x),h0(x)∈Z[x]と書き直せる。
よってf(x)=(1/ab)g0(x)h0(x)だが、左辺はZ[x]の元なのでab|g0(x)h0(x)。
abの各素因数p_iに2-3を適用するとp_i|g0(x)またはp_i|h0(x)となる。
よって最終的にg0(x)h0(x)=k ab g1(x)h1(x), g1(x),h1(x)∈Z[x]となるので、
f(x)=kg1(x) h1(x)で題意は示された。
最高次係数が1の場合は明らか。

008158 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/21(水) 18:55:22

問題2-5
次の多項式は有理数体Q上既約であることを示せ。
(1) x^5-x-1
(2) x^4+8

解：2-4よりZ上既約であることを示せばよい。
1次の因数をもつ場合、2次の因数をもつ場合を考えて係数を適当におき、
多項式に適当な値を代入して連立方程式の解がないことを示せばよい。
面倒くさいことになりそうなので詳細はパス。

0082１３２人目の素数さん

2006/06/21(水) 18:56:59

痛々しいスレですね

008358 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/21(水) 18:59:53

問題2-6
f(x)=x^5-ax-1がQ上可約となるように整数aを定めよ。

解：これもZ上で考えればよい。
1次の因数をもつ場合、定数項からx+1またはx-1であるから、
f(1)=0またはf(-1)=0で、a=0,2。
2次の因数をもつ場合、f(x)=(x^2+bx+c)(x^3+dx^2+ex+f)とおいて係数を比較して以下略

008458 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/21(水) 19:07:51

問題2-7
pは素数、a_0,...,a_nは整数で、
(1)p|a_nでない (2)p|a_i (i=0,...,n-1) (3) p^2|a_0でない
のときf(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^nはQ上既約であることを示せ。

問題2-8
前問を用いて、次の多項式がQ上既約であることを示せ。
(1) x^3-3
(2) x^4-8x^2+2
(3) x^4+x^3+x^2+x+1

解：2-7で(1)p=3の場合(2)p=2の場合

問題とき終わらなかったけど今日はこのへんで。

0085１３２人目の素数さん

2006/06/22(木) 00:35:44

>>84
(3)もアイゼンシュタイン使えるだろ。

008658 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/22(木) 16:58:26

>>85
どうも。
f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=(x^5-1)/(x-1)
g(y)=f(y+1)=((y+1)^5-1)/y=y^4+5y^3+10y^2+10y+5
2-7をp=5の時に適用してg(y)は既約。よってf(x)も既約。

正直言って解答見なきゃこんな変形思いつかなかったよ・・・orz
pが素数ならばp|pCkだから同じ論法で
x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1も既約がいえそうだ。
そうでないときは、x^{n-1}+...+1でn=kmとすればx^{m-1}+...+1で割り切れて可約。

008758 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/22(木) 17:04:34

さて、p.25いちばん下から

3. 代数的要素

K⊂Eを体とする。
α∈Eを根にもつK係数多項式が存在するとき、αはK上代数的であるという。
αが代数的のとき、αを根に持つK係数多項式の中で最低次数のものを選び、
Kの要素をかけて最高次係数を1にしたものをf(x)で表す。
このとき次が成り立つ：

1. g(x)がg(α)=0を満たすならばg(x)はf(x)で割り切れる。
2. f(x)はK上既約。
3. f(x)は一意的に定まる。

008858 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/22(木) 17:12:12

証明：1.g(α)=0となるg(x)が存在するとし、
g(x)=f(x)q(x)+r(x)とかくと、g(α)=f(α)=0よりr(α)=0、deg r<deg f。
fは最低次数のものだったからr(x)=0
1.⇒3.がすぐにいえる。
2.f(x)=g(x)h(x)とすると、f(α)=0よりg(α)=0またはh(α)=0。
これもfが最低次数であることに矛盾。

008958 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/22(木) 17:24:57

Eの部分集合で、θ=g(α)=c_0+c_1α+...+c_{n-1}α^{n-1}の形の要素からなるものをE_0とする。
ここでg(x)はKの多項式でn=deg fより低次なもの。
E_0は加法、乗法で閉じており、後者はn次より小さいg(x),h(x)に対し
g(x)h(x)=f(x)q(x)+r(x)とするとg(α)h(α)=r(α), deg r<nであることから分かる。
またθに対しc_0,...,c_{n-1}は一意的に決まる。
なぜなら、異なる表示があるとしたら差をとることによってnより低次の多項式がαを根に持つから。

009058 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/22(木) 17:37:52

実はE_0は体であり、K(α)に一致することがこれから証明される。
そのときK(α)は1,α,α^2,...,α^{n-1}で生成されるので、(K(α)/K)=nを得る。

そのことを示すために、まず拡大体Eと要素αを使わずにE_0と同じものを作る。
K内の既約多項式f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0が与えられたとする。
ξを一つの記号とし、次数がnより小さいξの多項式g(ξ)=c_0+c_1ξ+...+c_{n-1}ξ^{n-1}
全体の集合をE_1とすると、E_1は加群をなす。

009158 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/22(木) 17:44:40

ここでE_1に新しい積g(ξ)×h(ξ)を通常の積g(ξ)h(ξ)のf(ξ)を法とした剰余r(ξ)として定義する。
するとg_1(ξ)×g_2(ξ)×...×g_m(ξ)はg_1(ξ)g_2(ξ)...g_m(ξ)の剰余に一致するので、新しい積も結合法則、交換法則、分配法則を満たすことが示される。
しかもE_1はKを含み、K内で新しい乗法と通常の乗法は一致。
よって以下は新しい積も通常の積と同じ記号で書く。

と、今日はここまで。p.28の中程。

0092１３２人目の素数さん

2006/06/23(金) 12:38:01

>>58
乙。

テキストは明倫間に在庫があるようです。
http://www.meirinkanshoten.com/book.asp?id=373702

009358 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/23(金) 17:18:11

>>92情報thx
手元の本で定価1860円、品切れであることを考えると1400円は妥当かな。
Dover版がamazonで859円
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486623424/qid=1151050067/sr=1-1/ref=sr_1_10_1/503-4378423-4895959
もあるけど版が違うようで、序文によれば和訳は'59年ドイツ語訳のために加筆修正したものの翻訳。

>>31の目次と比べると、
> I. 有限体 49
の代わりに「9. 代数的分離拡大体」「10. アーベル群とその応用」がはいり、
> M. 単純拡大 64
がなくて
> O. 自然な無理性に関する定理（？） 67
は「15. 推進定理」となってる（同じもの？）

第３章の応用は全面的に書き換えたようで、
1. 群論からの追加
2. 方程式のベキ根による可解性
3. 方程式のガロア群
4. コンパスと定規による作図
となった。

そのほか和訳には訳者が問題と解答、各節の冒頭に概要を付けているので勉強しやすくなってる。

009458 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/23(金) 17:31:30

さて、昨日もう一言付け加えるべきだったが、新しい乗法で
ξ^n=ξ^{n-1}×ξ=-a_{n-1}ξ^{n-1}-...-a_1ξ-a_0
となるので、f(ξ)=0がE_1内で成り立つことが分かる。
よってE_1は加法と乗法をもち、E_0と同様の性質を持つこといえる。
以下は新しい積も通常の積と同じ記号で書く。

009558 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/23(金) 17:46:08

で、p.29くらいから。

E_1が体であることを示すためには、逆元の存在をいえばよい。
E_1の２つの元g(ξ)≠0とh(ξ)が与えられたときにg(ξ)X(ξ)=h(ξ)となるE_1の要素
X(ξ)=x_0+x_1ξ+...+x_{n-1}ξ^{n-1}の存在を示そう。
g(ξ)X(ξ)を計算し、関係式f(ξ)=0を使って次数下げすると、L_0+L_1ξ+...+L_{n-1}ξ^{n-1}、
ただしL_iはK係数のx_0,...,x_{n-1}の一次結合としてかける。
h(ξ)の係数をb_iとおけばn未知数（x_0,...,x_{n-1}）連立方程式
L_0=b_0, ..., L_{n-1}=b_{n-1}
をえる。一般にAx=bが唯一解をもつのはAx=0が自明解しかもたないのと同値なので、
L_0=0, ... , L_{n-1}=0
が自明解しかもたないことを示せばよい。
これに対応する式はg(ξ)X(ξ)=0であり、E_1における積の定義からこれは左辺がf(ξ)で割り切れることを意味するが、
>>73の補題よりX(ξ)=0でないと成り立たない。
よってE_1が体であることが示された。

009658 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/23(金) 18:05:56

さて、E_1は>>89で定義したE_0と全く同じ構造をもつ。
すなわちg(ξ)にg(α)対応させると全単射であり、和の像は像の和、積の像は像の積に等しくなる。

一般に体の間の写像σ:K→K'で以下を満たすものをKからK'への中への同型写像と呼ぶ：
1. σ(α+β)=σ(α)+σ(β)
2. σ(αβ)=σ(α)σ(β)
3. α≠0⇒σ(α)≠0
（これって単射準同型だと思うけど、一般的な用語なのかな？）
このときσ(K)はK'の部分体になる。

さらにσが全射のとき上への同型写像といい、そのような写像が存在するときKとK'は同型であるという。
とくにK=K'の場合は自己同型写像という。

KからK'への上への同型写像が存在するとき、K係数多項式を自然にK'係数多項式に対応させることができる。
この対応で既約多項式は既約多項式にうつる。

009758 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/23(金) 18:12:20

最後に、

定理7. （クロネッカー）
f(x)を体Kにおける定数でない多項式とするときKの拡大体Eでf(x)が
その中に根をもつものが存在する。

証明：
f(x)の1つの既約因子をとり、これで上のように拡大体E_1を構成すればよい。

以上、すぐ次に定理8.もあるけど今日はここまで。p.31の3/4くらい。
土日は休みということにしてまずは一週間続いた。
はたして来週再開するんだろうか・・・

009858 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/26(月) 20:03:28

あらら、週末もレスつかなかったか。
ま、中途半端に終わってたのでいちおう続き。
p.31クロネッカーの定理の直後から。

既約多項式の根により拡大体を構成してきたのだが、
その構成が根の取り方によらないというのが次の定理。

定理8.
σを体Kから体K'への上への同型写像とする。
f(x)をK内の既約多項式とし、その像をf'(x)で表す。
f(α)=0を満たすαによる拡大体をE=K(α)とし、f'(α')=0を満たすα'による
拡大体をE'=K'(α')とする。
するとσはαの像がα'であるようなEからE'の上への同型写像に拡張される。

証明は、全単射になることは明らか、和の像が像の和、積の像が像の積になる
こともほぼ明らかなのでOK

009958 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/26(月) 20:11:03

ここで3節終わり、問題がある。

問題3-1
K⊂EのときEの要素αがα^2+kα+l=0 (k,l∈K)を満たすための必要十分条件は
(K(α)/K)=1または(K(α)/K)=2であることを示せ。

解：α∈K⇔(K(α)/K)=1は明らかなので、αがKの元でないと仮定する。
するとα^2+kα+lは既約多項式なのでα^2+kα+l=0⇔(K(α)/K)=2

010058 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/26(月) 20:22:08

問題3-2
次のQ(α)はQ上何次の体か。
(1) α^3=1, α≠1
(2) α^3=2
(3) α^4+α^2+1=0

解：(1) α^2+α+1=0, 2次
(2) α^3-2は問題2-7（アイゼンシュタインの既約性判定）より既約、3次
(3) α^4+α^2+1=(α^2+1)^2-α^2=(α^2+α+1)(α^2-α+1), 2次

問題3-3
αがf(x)=x^3-x-2=0の根のとき、(Q(α)/Q)=3を示し、次の値をαの２次以下の多項式で表せ。
(1) α^5
(2) 1/(α+1)

解：±1, ±2を代入してもfは0にならないので１次の因子をもたず、fは既約。
(1) 次数下げして2α^2+α+2
(2) α+1にかけて1になる２次以下の多項式、(1/2)α^2-(1/2)α

010158 ◆yyc6nUQEv.

2006/06/26(月) 20:29:44

問題3-4
K⊂E, αがK上代数的, (K(α)/K)=2, E∩K(α)=K ⇒ (E(α)/E)=2

解：あるK係数多項式α^2+kα+l=0 (k,l∈K)がKで既約。
これがEで1次の因子をもつときα∈Eだが、E∩K(α)=Kに反する。
よってE内でも既約、結論を得る。

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