定理26は有限生成アーベル群の基底定理から導くこともできる。
基底定理はのちに必要になるのでここで証明を与える。

Gをアーベル群とし演算を加法で書き表す。
g_1,...,g_kがGを生成するとは、任意のg∈Gがg=n_1g_1+...+n_kg_kと書けることをいう。
g_1,...,g_kがGを生成し、k-1個の元では生成されないときこれを極小な生成系とよぶ。
有限群は極小な生成系を持つ。
さらにg_1,...,g_kがGの生成系ならばg_1+mg_2,g_2,...,g_kも生成系である。
またm_1g_1+...+m_kg_k=0のような等式を生成系の間の関係といい、
m_1,...,m_kをこの関係の係数という。
アーベル群Gが部分群G_1,...,G_kの直積であるとは、Gの任意の元gがG_iの元x_iを用いて
g=x_1+...+x_kの形に一意的に表されるときのことを言う。

基本定理
有限生成アーベル群は、巡回部分群G_1,...,G_kの直積である。
ここで、i=1,...,k-1に対しG_iの位数はG_{i+1}の位数の約数であり
kは極小生成系の元の個数であるものとする。
ただし無限群の位数は0をさす。