[導関数]
体Kの多項式f=f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^nにたいし、
f'=a_1+2a_2x+...+na_nx^{n-1}と定義する。
すると2つの多項式f,gに対して次のことが容易に示される：
　　(f+g)'=f'+g'
　　(fg)'=fg'+f'g
　　(f^n)'=nf^{n-1}f'

定理25.
K内の多項式fが重根をもつための必要十分条件は、その分解体Eでfとf'が共通根をもつこと。
これはまた、fとf'がKで1次以上の共通因数をもつことと同値。

証明
fが重複度kの重根αをもつときf(x)=(x-α)^kQ(α), Q(α)≠0とかくことができ、
f'(x)=(x-α)^{k-1}[(x-α)Q'(x)+kQ(x)]であることから分かる。