[標数pの体とQ_p]
Kの単位元をeで表し数字の1と区別する。
Kを標数p>0の体とする。
簡単な計算からeの倍数全体はQ_pと同型な体を成すことが分かる。
そこで以降は元neを単にnで表し、整数nはmod pで解釈する。
この意味でQ_pはKの最小の部分体であるといえる。

引き続きKを標数p>0の体とする。
1≦i≦p-1なるiに対して二項係数pCi=p!/[i!(p-i)!]の分母はpで割り切れず
分子がpで割り切れるので、全体としてpで割り切れる整数になる。
よってKの要素a,bに対して(a+b)^p=a^p+b^p、また(a-b)^p=a^p-b^pであり、
a^p=b^pならばa=bである。
さらに(ab)^p=(a^p)(b^p)であるから、各要素のpベキをとる写像は同型写像である。
とくにKが有限体ならば全射であることも分かり、よって自己同型写像が得られる。

[標数0の体とQ]
Kを標数0の体とすると、単位元eの倍数neはすべて異なる元である。
またm≠0のとき商ne/meを考えることもでき、これらすべては部分体をなす。
これを有理数n/mと対応させるとQはKの最小の部分体であることが分かる。