証明
[単純拡大体⇒中間体有限個]
E=K(α)を単純拡大体とし、αを根に持ち最高次係数が1になる既約多項式をp(x)とする。
Bを中間体とし、p_1(x)をαのB内の既約多項式で最高次係数1のものとすると、
p_1(x)はp(x)の約数になるのでその取り方は有限個しかない。
Kにp_1(x)のすべての係数を付加した体をB_0としたときB_0=Bになることを示せば
p_1(x)の取り方の有限性からBの有限性がいえる。
明らかにB_0⊂Bなので(E/B)≧(E/B_0)を示せばよい。
ところがE=B_0(α)=B(α)なので(E/B_0)≦deg p_1(x)=(E/B)である。

[中間体有限個⇒単純拡大体]
K⊂Eを有限次拡大とし、中間体が有限個しかないものとする。
1.Kが無限個の元を含む場合
Eの元α,βをとり、Kの元cに対してγ_c=α+cβによる単純拡大体をK_c=K(γ_c)とする。
すべてのcに対しK_cは中間体だが中間体は有限個しかないのであるc≠dでK_c=K_dとなる。
するとγ_c-γ_d=(c-d)β∈K_cでありβ∈K_c、よってα∈K_cもいえるので
K(α,β)⊂K_cがいえ、Eの2つの元をKに付加することは1つの元を付加することですむ。
EがKの有限次拡大体であることから、実は単純拡大体であることが分かる。
2.Kが有限体の場合
有限次拡大体Eも有限体である。
この場合の証明は次節で扱う。