次の定理は正規拡大体になるための判定条件を与える：

定理18.
EがKの正規拡大体であるための条件は、EがK内の分離多項式の分解体となることである。

証明
[正規拡大体⇒分解体]
K⊂Eを正規拡大体とし、EのK上の生成元をω_1,...,ω_nとする。
またp_i(x)をω_iを根に持つK上の既約多項式とする。
定理15(>>138)よりp_i(x)は分離的でありE内で一次因子に分解する。
　　p(x)=p_1(x)p_2(x)...p_n(x)
とおくとp(x)も分離的でE内で一次因子に分解する。
（代数的数を根に持つ既約多項式は一意的に決まる>>87。
よって積をとって新たに重根が現れることはない。）
p(x)の根の中にすべてのω_iが含まれるのでp(x)の分解体はEそのものである。
（つづく）