さて、続けます。
p.33いちばん下のところから。

任意の多項式p(x)にK上の拡大体E=K(α_1,...,α_s)が存在することが分かった。
このとき次のような包含関係の列ができる：
K=E_0⊂E_1⊂...⊂E_s=E, E_i=E_{i-1}(α_i)
この分解が同型を除いて一意に定まるというのが次の定理。

定理10.
σ:K→K'を上への同型とする。
p(x)をKの多項式とし、そのK'への像をp'(x)で表す。
またp(x)のK上の分解体をE、p'(x)のK'上の分解体をE'で表す。
するとσはEからE'への上への同型写像に延長される。

証明：
E内でp(x)=a(x-α_1)(x-α_2)...(x-α_s)と分解されているものとする。
全てのα_iがKに属するならばK=Eであり、σで写せばp'(x)もK'で分解されてE'=K'となりOK。
以下、Kに属さないα_iの個数n>0に関する帰納法で示す。