>>709
直感的な説明
自然数について考えると、
例えばある数に３の倍数を足したり引いたりしても、３で割った余りは変わらない。
一般的に自然数のnの倍数を足したり引いたりしても、nで割った余りは変わらない。
同じように、整式でもx^2+1の倍数を足したり引いたりしてもx^2+で割った余りは変わらない

数式による説明。
R(x)をx^2+1で割ると商がS(x)、余りがT(x)になったとする。
それはR(x)=(x^2+1)S(x)+T(x)ということ。
これをP(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+R(x)に代入すると
P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+(x^2+1)S(x)+T(x)
=(x^2+1)((x^2+x+1)Q(x)+S(x))+T(x)
ということで(x^2+1)(〜〜〜〜〜)+T(x)の形になる。
ってことはP(x)をx^2+1で割った余りはT(x)になるということ。