図を書いた結果、それよりもaの値が増減すると最大・最小の値が変わることが分かりました。
ゆえに、そこが境界値であることも納得いきます。
その後の回答としては場合分けをして、aが境界値よりも大きい場合・小さい場合に分けて
それぞれ解を導くのですよね？

ぇーっと・・・何だか混乱してきてしまいました・・・。

つまり、変域の両端の値をを代入して、それらの値が等しいとすると、グラフにおいて
凸の左右対称な位置にｙの値となる点をとる。
すなわちそこから左右に少しでもずれることが最大最小の変化しうる条件ともなる。

そんな感じの認識でよろしいでしょうか？

何度もすみません｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡