>>905
背理法で証明してみたのですが、どうでしょうか？

x0∈Iすると上に有界でないので∃x1∈I　2f(x0)<(f(x1)
∃x2∈I　2^2f(x0)<(f(x2)。以下同様にして2^nf(x0)<f(xn)とする。
ここでxn∈Iなので{xn}は有界
ボルツァノ・ワイエルストラスの定理より収束部分列{xnk}をもつので、
xnk→x0とするとxnk∈Iよりx0∈I。またfの連続性からlimf(xnk)=f(x0)
またf(xnk)>2^(nk)f(x0)よりlimf(xnk)＝∞これは矛盾。
よって閉区間で連続な函数は有界である。