>>988 の証明
M/N の位数を g とする。
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは命題の主張は明らか。
よって n ＞ 1 とする。

M から有理整数環の加法群 Z へのアーベル群としての射 φ を
φ(b_1 x_1 + b_2 x_2 + ... + b_n x_n) = b_n で定義する。
g x_n ∈ N だから g ∈ φ(N) である。
よって φ(N) = Za となる a ＞ 0 がある。
この a を a_(n, n) とおく。
φ(y_n) = a_(n, n) となる y_n がある。
y_n は
y_n = a_(n, 1) x_1 + a_(n, 2) x_2 + ... + a_(n, n) x_n との形に書ける。

z を N の任意の元とする。
φ(z) = a_(n, n)q と書ける。
φ(z - q(y_n)) = 0 だから
z - q(y_n) ∈ Z(x_1) + ... + Z(x_(n-1)) ∩ N である。
よって
N = Z(x_1) + ... + Z(x_(n-1)) ∩ N + Z(y_n)
となる。

ここで
L = Z(x_1) + ... + Z(x_(n-1)) とおくと、
L/(L ∩ N) は (L + N)/N と同型で (L + N)/N は M/N の部分群だから
有限群である。

よって、L と L ∩ N に対して帰納法の仮定を適用すればよい。
証明終