補題
K を標数が２でない体とする。
f(X) = X^2 + bX + c を K の元を係数にもつ２次の多項式とする。
この判別式を D とする
つまり D = b^2 - 4c である。

1) D = 0 のとき f(X) は K において重根をもつ。

2) D ≠ 0 かつ方程式 X^2 = D が K において根をもつとき、
f(X) は K において異なる２根をもつ。

3) D ≠ 0 かつ方程式 X^2 = D が K において根をもたないとき、
f(X) も K において根をもたない。

証明
中学校で習った２次方程式の根の公式より明らか。