２次体 Q(√m) の話に戻る。

>>768 より Q(√m) の整数環 R は Z[ω] = Z + Zω の形を
している。
ここで m ≡ 1 (mod 4) なら ω = (1 + √m)/2 であり、
m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) なら ω = √m である。

Q(√m)/Q は ２次のGalois拡大であり、そのGalois群は位数２の巡回群である。
その生成元をσとする。σ(√m) = -√m である。
一般に Q(√m) の元αに対して σ(α) をαの共役と呼ぶ。
αの共役をα' と書くことにする。

元αのノルム N(α)を N(α) = αα' で定義する。
元αのトレース Tr(α)を Tr(α) = α + α' で定義する。
αが整数なら N(α) と Tr(α) は有理整数である。

m ≡ 1 (mod 4) なら
N(ω) = ((1 + √m)/2)((1 - √m)/2) = (1 - m)/4
Tr(ω) = (1 + √m)/2 + (1 - √m)/2 = 1
よって
ω の Q 上のモニックな最小多項式 f(X) は
(X - ω)(X - ω') = X^2 - Tr(ω)X + N(ω) = X^2 - X + (1 - m)/4
この判別式 D は D = (ω - ω')^2 = m

m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) なら、
ω = √m の Q 上のモニックな最小多項式 f(X) は
(X - ω)(X - ω') = X^2 - m
この判別式 D は D = (ω - ω')^2 = 4m