他方、>>806 より

Z[θ]/pZ[θ] = (Z/pZ)[X]/(f~(X)) = Π(Z/pZ)[X]/(g_i~(X))^(m_i)
(等号は同型を表す)。

(Z/pZ)[X] は単項イデアル整域だから >>896 の補題が使えて
>>904 と同様にして |(Z/pZ)[X]/(g_i~(X))^(m_i)| = (p^(f_i))^(m_i)
である。
よって、
|Z[θ]/pZ[θ]| = Π|(Z/pZ)[X]/(g_i~(X))^(m_i)| = p^(Σ(m_i)(f_i))

この左辺は p^n だから
n = Σ(m_i)(f_i) となる。

>>904 より
n = Σ(k_i)(f_i) だから、

Σ(m_i)(f_i) = Σ(k_i)(f_i) である。

>>885 より、ν_i(p) ≧ m_i であるが、
ν_i(p) = k_i であるから k_i ≧ m_i となる。
よって、上記の等式より k_i = m_i である。
つまり、ν_i(p) = m_i である。