B = Z[θ]_(P_i) とし m = (P_i)Z[θ]_(P_i)、k = k_i とおく。
B/m^k の元の個数を求めよう。
簡単のために、有限集合 S の濃度を |S| で表す。

B/m は Z[θ]/P_i に同型であり、
Z[θ]/P_i = Z[θ]/(p, g_i(θ)) は (Z/pZ)[X]/(g_i~(X)) に同型である。
ここで g_i~(X) は g_i(X) の係数を mod p で還元した多項式。
g_i(X) の次数を f_i とすると (Z/pZ)[X]/(g_i~(X)) は有限体 Z/pZ の
次数 f_i の拡大体だから p^(f_i) 個の元からなる。

よって、|B/m| = |(Z/pZ)[X]/(g_i~(X))| = p^(f_i) である。

B は離散付値環である(>>840)から
m^i/m^(i+1) は B/m と B-加群として同型である(>>896)。
よって |m^i/m^(i+1)| = p^(f_i) である。

B のイデアルの列 B ⊃ m ⊃ ... ⊃ m^k より、
|B/m^k| = (p^(f_i))^k

よって >>894 より
|Z[θ]/pZ[θ]| = Π|Z[θ]/(P_i)^(k_i)| = p^(Σ(k_i)(f_i))

この左辺は p^n だから
n = Σ(k_i)(f_i) となる。