>>894 のつづき。

Z[θ]/(P_i)^(k_i) の元の個数を求めたい。
>>894 より、これは
Z[θ]_(P_i)/(P_i)^(k_i)Z[θ]_(P_i) の元の個数と同じである。

ここで補題を用意する。

補題
B を単項イデアル整域とし、p をその素元とする。
i ≧ 1 を任意の整数とする。
Bp^i/Bp^(i+1) は B-加群として B/Bp と同型である。

証明
B から Bp^i への写像を b ∈ B に b(p^i) を対応させることにより
定義する。この写像を標準射 Bp^i → Bp^(i+1) と合成させて
B-加群としての射 B → Bp^i/Bp^(i+1) が得られる。
この核は Bp である。
証明終