命題
A = Z[θ]_P は離散付値環である。

証明
f(X) ≡ g_0(X)Ψ_0(X) (mod pZ[X])
だから　g_0(θ)Ψ_0(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ])
よって g_0(θ)(Ψ_0(θ)/p) ∈ A

他方、p(Ψ_0(θ)/p) = Ψ_0(θ) だから p(Ψ_0(θ)/p) ∈ A
よって P = (p, g_0(θ)) だから P(Ψ_0(θ)/p) ⊂ A
よって PA(Ψ_0(θ)/p) ⊂ A

PA(Ψ_0(θ)/p) ⊂ PA と仮定すると、
PA(Ψ_0(θ)/p)^k ⊂ PA が任意の有理整数 k ≧ 1 に対し成り立つ。

M = PA
c = Ψ_0(θ)/p
とおけば、>>839 が適用できて Ψ_0(θ)/p は A 上整。

A は整閉だから(前スレ１の584)、Ψ_0(θ)/p ∈ A　となる。
これは >>830 に反する。

よって PA(Ψ_0(θ)/p) = A となる。
よって PA = (p/Ψ_0(θ))A となる。
>>534 より A は離散付値環である。
証明終