補題
A をネーター環とし、I をそのイデアルで I ⊂ rad(A) とする。
M を有限生成 A-加群で、M ≠ 0 とする。
a, b を I に含まれる M-正則列とすると、
並びを入れ替えた b, a もM-正則列である。

証明
まず、b が M-正則であることを証明する。
x を M の元として、bx = 0 とする。
x = 0 を示せばよい。
b は M/aM に関して正則だから、x ∈ aM となる。
よって x = ay となる y ∈ M がある。
bx = aby = 0 であり、a は M-正則だから by = 0 である。
よって上と同様に y ∈ aM となる。つまり、x ∈ (a^2)M となる。
以上を繰り返して x ∈ ∩(a^n)M となる。
ここで n はすべての正の整数 n > 0 を動く。
>>81 より ∩(a^n)M = 0 だから x = 0 である。

次に、a が M/bM に関して正則なことを示す。
x を M の元として、ax ∈ bM とする。
ax = by となる y ∈ M がある。
b は M/aM に関して正則だから y ∈ aM となる。
よって y = az となる z ∈ M がある。
よって ax = abz である。a は M-正則だから x = bz である。
よって x ∈ bM となって a は M/bM に関して正則である。
証明終