補題
C を環、B をその部分環、c を C の元とする。
M を忠実な B[c]-加群で、B 上有限生成とする。
このとき、 c は B 上整である。

証明
M の B 上の生成元を x_1, ..., x_n とする。

c(x_1) = b_(1,1) x_1 + b_(1,2) x_2 + ... + b_(1,n) x_n
.
.
.
c(x_n) = b_(n,1) x_1 + b_(n,2) x_2 + ... + b_(n,n) x_n

となる B の元 b_(i, j), 1≦i, j≦n がある。

前スレ１の236より det(cE - T)M = 0 となる。
ここで T は b_(i, j) を (i, j) 成分とする行列。

M は忠実な B[c]-加群だから det(cE - T) = 0 である。
ここで E は n 次の単位行列。
この行列式を展開すると、命題の主張が得られる。
証明終