>>810 の続き。

>>805 で (p, g_0(θ)) = P_0 とおいた。
P_0 は Z[θ] の極大イデアルである。
簡単のために P = P_0 とおく。

Z[θ] の P による局所化(前スレ１の65と88)を A とおく。
つまり A = Z[θ]_P である。

この局所環 A で以上の議論をしたほうがいいと気付いた。

補題
Ψ_0(θ) ≡ 0 (mod pA) ではない。

証明
Ψ_0(θ) ≡ 0 (mod pA) と仮定して矛盾を導く。
Ψ_0(θ) = pT(θ)/U(θ) となる。
ここで T(θ) と U(θ) は Z[θ] の元で U(θ) は P に含まれない。

Ψ_0(θ)U(θ) = pT(θ)

よって、Ψ_0(X)U(X) は mod pZ[X] で f(X) で割れる。
特に、g_0(X) の m_0 乗で割れる。

U(θ) は P に含まれないから U(X) は mod pZ[X] で g_0(X) で
割れない。よって、Ψ_0(X) は mod pZ[X] で g_0(X) の m_0 乗で
割れる。これは Ψ_0(X) の定義と矛盾する。
証明終