命題
n > 0 を整数とし、集合 {1, ..., n} の置換全体のなす
対称群を S_n とする。
S_n の任意の元 σ は (i, i+1), 1 ≦ i ≦ n-1 の形の互換の積として
表すことが出来る。

証明
>>82 より任意の互換 (j, k), j < k が(i, i+1) の形の互換の積と
となることを示せばよい。互換(j, k)の長さを k - j で定義する。
互換の長さの帰納法で証明する。
互換の長さが１のときは明らか。
よって互換(j, k)の長さは２以上とする。
(j, k) = (j, k-1)(k-1, k)(j, k-1) となることが簡単に確かめられる。
帰納法の仮定より(j, k-1)は(i, i+1) の形の互換の積となる。
よって(j, k)も同様である。
証明終