>>512 をやや拡張して
G(θ) = (g_0(θ)^(m_0)...(g_(e-1)(θ))^(m_(e-1)) とおき、
Ψ_0(θ) = G(θ)/g_0(θ) とおく。
つまり
Ψ_0(θ) = (g_0(θ)^(m_0 -1)...(g_(e-1)(θ))^(m_(e-1)) である。


f(X) ≡ (g_0(X)^(m_0)...(g_(e-1)(X))^(m_(e-1)) (mod pZ[X])
だから
f(X) ≡ Ψ_0(X)g_0(X) (mod pZ[X])

f(θ) = 0 だから
Ψ_0(θ)g_0(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ])

一方、>>806 より
Z[θ]/pZ[θ] = (Z/pZ)[X]/(f~(X)) だから(等号は同型を表す)。

h(X) ∈ Z[X] のとき
h(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ]) と
h(X) が mod pZ[X] で f(X) で割り切れることは同値である。

よって
Ψ_0(θ)h(θ)≡ 0 (mod pZ[θ]) と
Ψ_0(X)h(X) が mod pZ[X] で f(X) で割り切れることは同値である。
これは h(X) が mod pZ[X] で g_0(X) で割り切れることは同値である。
よって h(θ)≡ 0 (mod P_0) と同値である。

これから Ψ_0(θ) ≡ 0 (mod pZ[θ]) とならないことが分かる。
何故なら 1 ≡ 0 (mod P_0) とはならないから。