pZ[θ] の素イデアル分解を調べるには、剰余環 Z[θ]/pZ[θ] を
調べるのがよい。

まず Z[θ] = Z[X]/(f(X)) に注意する(等号は同型を表す)。

pZ[θ] = (pZ[X] + (f(X)))/(f(X)) だから
Z[θ]/pZ[θ] = Z[X]/(p, f(X))

一方、Z[X]/(p, f(X)) = (Z/pZ)[X]/(f~(X)) である(等号は同型を表す)。
よって
Z[θ]/pZ[θ] = (Z/pZ)[X]/(f~(X)) である(等号は同型を表す)。

一方、中国式剰余定理(前スレ１の341)より
(Z/pZ)[X]/(f~(X)) = Π(Z/pZ)[X]/(g_i~(X))^(m_i)

この右辺の各因子 (Z/pZ)[X]/(g_i~(X))^(m_i) は
(Z/pZ)[X]/(g_i~(X)) を剰余体とするArtin局所環である。