>>793 の続き。

Φ_0 の核を求める。

h(X) ∈ Z[X] で Φ_0(h(θ)) = 0 とする。
Φ_0(h(θ)) = h~(ω_0) = 0 だから
h(X) ≡ g_0(X)T(X) (mod p) となる T(X) ∈ Z[X] がある。
よって h(X) = g_0(X)T(X) + pR(X) となる R(X) ∈ Z[X] がある。
よって、h(θ) = g_0(θ)T(θ) + pR(θ) となる。
つまり、h(θ) は Z[θ] において p と g_0(θ) で生成されるイデアル
(p, g_0(θ)) に含まれる。
つまり Ker(Φ_0) ⊂ (p, g_0(θ)) である。
逆の包含関係は明らかだから Ker(Φ_0) = (p, g_0(θ)) である。

(p, g_0(θ)) = P_0 とおく。
P_0 は Z[θ] の極大イデアルである。
Z[θ]/P_0 は Z/pZ の m_0 次の拡大体である。
つまり、p^(m_0) 個の元からなる有限体である。