Ωを Z/pZ の代数的閉包とする。

>>788 より p が f(X) の判別式 d の約数であるための必要十分条件は
f~(X) の判別式 φ(d) が 0 であること、即ち f~(X) が Ω において
重根をもつことである。

p が d の約数でないときの Q(θ) の p を割る素因子(>>555) は
>>510 以降の議論で決定している。

ここでは p が d の約数である場合を考える。
とは言っても >>510 以降の議論と重なる部分も多い。
復習の意味も兼ねて重複を厭わないで述べることにする。

f(X) を mod p で既約多項式に分解して
f(X) ≡ (g_0(X)^(m_1)...(g_(e-1)(X))^(m_(e-1)) (mod p)
とする。ここで 各 g_i(X) はモニックで互いに異なる。
m_1, ..., m_(e-1) は 1 以上の有理整数である。
f(X) は mod p で Ω において重根をもつから m_1, ..., m_(e-1)
の中に 2 以上の値をもつものがある。

g_0(X) を mod p で考えて、そのΩにおける根の１つをω_0とする。
T(X) ∈ Z[X] で T(θ) = 0 なら T(X) = f(X)U(X) となる
U(X) ∈ Z[X] がある。よって T(X) は mod p で g_0(X) で
割り切れる。よって T~(ω_0) = 0 である。
ここで T~(X) は T(X) の係数を mod p の剰余類におきかえたもの。

以上から Z[θ] からΩへの環準同型 Φ_0 で Φ_0 (θ) = ω_0 となる
ものが存在することがわかる。
つまり、V(X) ∈ Z[X] にたいして Φ_0(V(θ)) = V~(ω_0) である。