さて、θ をf(X) の根の一つ、例えば θ = θ_0 としよう。
Q(θ) は n 次の代数体である。
ここで Z[θ] は整閉であると仮定する(これが重要)。

Q(θ) の素因子(>>555)を決定しよう。

有理素数 p を任意にとる。
有理整数環 Z から有限素体 Z/pZ への標準射を φ: Z → Z/pZ とする。

f(X) を mod p で考えて、Z/pZ 係数の多項式 f~(X) が
得られる。つまり f~(X) は f(X) の係数に φ を作用させて得られる
ものである。

f~(X) の判別式も >>783 >>787 と同様に定義できる。
これが φ(d) であることは(d はf(X)の判別式)、対称式の理論より
判別式がその多項式の係数の多項式となることから分かる。

このことは、対称式の理論を使わないで Galois 理論からも以下の
ようにしてわかる。