２次体 Q(√m) の整数環における有理素数 p の素イデアル分解
の様子を調べる前に問題をやや一般化しておく。

f(X)をモニックな有理整数係数の多項式で Q[X] したがって
Z[X] で既約とする。 f(X) の次数を n とする。
f(X) の複素数体での根を θ_0, ..., θ_(n-1) とする。

ここで f(X) の判別式について復習しよう。

根の差積をΔとする。つまり Δ = Π(θ_i - θ_j) である。
ここで積は i ＜ j となる対 (i, j) 全体を動く。

d = Δ^2 は θ_0, ..., θ_(n-1) の対称式だから f(X) の係数の
多項式で表せる。よって d は有理整数である。

このことは、以下のようにしても分かる。
Galois 拡大 Q(θ_0, ..., θ_(n-1))/Q の任意の自己同型 σ
は、θ_0, ..., θ_(n-1) の置換を引き起こす。
よって、σ(d) = d となるから d ∈ Q である。

一方、>>159 より d は代数的整数である。
>>158 より有理整数環は整閉だから d は有理整数である。

d を f(X) の判別式という。