>>764 の続き。
m は平方因子を持たないから 4 の倍数でない。

>>765 より、m ≡ 1 (mod 4) なら k ≡ l (mod 2) である。
よって k = l + 2t となる有理整数 t がある。

α = a + b√m = (k + l√m)/2 = (l + 2t + l√m)/2
= t + l(1 + √m)/2

ω = (1 + √m)/2 とおく。
Tr(ω) = 1
N(ω) = (1 - m)/4
だから ω は
(X - ω)(X - ω') = X^2 - X + (1 - m)/4 = 0 の根である。
ここで、ω' は ω の共役、つまり (1 - √m)/2 である。

(1 - m)/4 は m ≡ 1 (mod 4) より有理整数である。
よって、ω は(代数的)整数である。
αは Q(√m) に含まれる任意の整数であるから
Q(√m) の整数環 R は Z + Zω である。

m ≡ 2 (mod 4) または m ≡ 3 (mod 4) なら
>>765 より、k と l はともに偶数である。
よって a と b はともに有理整数である
よって Q(√m) の整数環 R は Z + Z√m である。