補題
m を 4 の倍数でない有理整数とする。

k, l を有理整数で
k^2 ≡ (l^2)m (mod 4)
とする。

このとき、m ≡ 1 (mod 4) なら k ≡ l (mod 2)
つまり k と l は偶奇が一致する。

m ≡ 1 (mod 4) でないなら k と l はともに偶数である。

証明
まず、以下の事実に注意する。
偶数の平方は mod 4 で 0 と合同である。
奇数の平方は mod 4 で 1 と合同である。

仮定より、
m ≡ 1 (mod 4) なら
k^2 ≡ l^2 (mod 4)

m ≡ 2 (mod 4) なら
k^2 ≡ (l^2)2 (mod 4)

m ≡ 3 (mod 4) なら
k^2 ≡ (l^2)3 (mod 4)

以上の３つの場合に補題の主張が成立つことは、始めの注意から
わかる。

m は 4 の倍数でないから上記で場合が尽くされる。
証明終