今後、断らない限り２次体を Q(√m) のように書いたとき m は
平方因子を持たない有理整数とする。

２次体 Q(√m) に含まれる代数的整数のなす環を決定しよう。

α = a + b√m を(代数的)整数とする。ここで、 a, b は有理数で
ある。

Tr(α) = (a + b√m) + (a - b√m) = 2a は有理整数である。
N(α) = (a + b√m)(a - b√m) = a^2 - m(b^2) も有理整数である。

4(a^2 - m(b^2)) = (2a)^2 - m(2b)^2 は有理整数である。
2a は有理整数だから m(2b)^2 は有理整数である。
m は平方因子を持たないから 2b は有理整数である。

2a = k
2b = l
とおく。

k^2 - (l^2)m = 4(a^2 - (b^2)m) = 4N(α)
より
k^2 ≡ (l^2)m (mod 4)

ここで補題を用意する。