>>759 の続き。

K = Q(√m) となる平方因子を持たない m は K により一意に決まる。

証明
Q(√m) = Q(√m') とする。
ここで m と m' は平方因子を持たない有理整数である。

√m = a + b√m' となる有理数 a, b がある。

両辺のトレースを取る。
Tr(√m) = √m - √m = 0
Tr(a + b√m') = a + b√m' + a - b√m' = 2a
よって a = 0
よって
√m = b√m' である。

両辺のノルムを取る。
N(√m) = (√m)(-√m) = -m
N(b√m') = (b√m')(-b√m') = -(b^2)m'

よって
m = (b^2)m'
m は平方因子を持たないから b^2 = 1 である。
よって m = m'
証明終