>>748 で述べた２次体についての事実を証明しよう。
ただし、今は２次体論に深入りはしない。

２次の代数体を略して２次体と呼ぶ。
つまり有理数体の２次の拡大体のことである。
因みに、このスレおよび後のスレでは断らない限り代数体は複素数体の
部分体と考える。

K を２次体とする。
K の元で Q に含まれないものをαとすれば。
K = Q(α) となる。

α の満たすモニックな有理係数の既約多項式を
X^2 + bX + c とする。

中学校(?)で習った２次方程式の根の公式より
α = (-b ±√(b^2 - 4c))/2 である。

β = √(b^2 - 4c) とおけば、K = Q(β) である。

b^2 - 4c は有理数だから b^2 - 4c = k/h となる有理整数 k, h
がある。
h√(k/h) = √(hk) だから K = Q(√(hk)) である。
hk = (t^2)m とする。ここで t, m は有理整数で m は平方因子を
持たない。つまり素数の平方で割れない。
このような t, m が存在することは hk を素数の積に分解すれば
明らかだろう。

√(hk) = t√m だから K = Q(√m) である。