>>748 の続き。

>>744 と >>748 の結果を Legendre の記号(>>746)で書くと、
以下のようになる。

1) λ ≡ 1 (mod 4) のとき:
(p/λ) = (λ/p) となる。

2) λ ≡ -1 (mod 4) のとき:
(p/λ) = (-λ/p) となる。

>>747 より
(-λ/p) = (-1/p)(λ/p) = {(-1)^(p-1)/2} (λ/p)

よって
(p/λ) = {(-1)^(p-1)/2} (λ/p)


λ ≡ 1 (mod 4) のとき (λ-1)/2 は偶数
λ ≡ -1 (mod 4) のとき (λ-1)/2 は奇数
に注意して 1) と 2) を１つにまとめると

(p/λ) = (-1)^{((p-1)/2)((λ-1)/2)} (λ/p)
となる。

両辺に (λ/p) を掛けて

(p/λ)(λ/p) = (-1)^{((p-1)/2)((λ-1)/2)}

これは平方剰余の相互律と呼ばれている。