>>744 の続き。

２次体論(後述)から有理素数 p で Z[η] で分岐するもの、つまり
pZ[η] が Z[η] の素イデアルの２乗になるのは、Q(η) の
判別式(後述) d の素因子だけである。
さらに、一般に２次体の判別式 は 奇素数の平方では割れない
(後で証明する)。

一方、例えば >>741 からわかるように、有理素数 p で Z[η] で
分岐するものは λ のみである。
よって、d と λ は符号を除いて一致する。
これと２次体の判別式の性質(後述)から

λ ≡ 1 (mod 4) のときは d = λ
λ ≡ -1 (mod 4) のときは d = -λ
となる。

２次体論から奇素数 p ≠ λ の Z[η] における素イデアル分解
の様子は d が mod p で平方剰余か否かにより決まる。
詳しく以下のようになる(後で証明する)。

pZ[η] が Z[η] の相異なる２個の素イデアルの積となるためには
d が p を法として平方剰余であることが必要十分である。

pZ[η] が Z[η] の素イデアルであるためには
d が p を法として平方非剰余であることが必要十分である。