以下、特に断らない限り (a/p) は a が p と素の場合のみを扱う。

1) a ≡ b (mod p) なら
(a/p) ≡ (b/p) (mod p)

これは定義から明らか。

2) r を mod p の原始根とし、a ≡ r^k (mod p) とする。
このとき (a/p) = (-1)^k である。

これも明らかだろう。

3) (ab/p) ≡ (a/p)(b/p) (mod p)

これは 2) から出る。

4) (a/p) ≡ a^{(p - 1)/2} (mod p)

証明
r を mod p の原始根とし、a ≡ r^k (mod p) とする。
a^{(p - 1)/2} ≡ r^{k(p - 1)/2} (mod p) である。

一方、Fermat の小定理から r^(λ - 1) ≡ 1 (mod p) だから
r^{(λ - 1)/2} ≡ -1 (mod p) である。

よって
k が偶数なら r^{k(p - 1)/2} ≡ 1 (mod p)
k が奇数なら r^{k(p - 1)/2} ≡ -1 (mod p)

これと 2) から 4) が出る。
証明終