>>722 の続き。

今度は p ≠ λ の場合を考える。
>>564 の記号を使う。
p の mod λ の指数を f' とする。e' = (λ - 1)/f' とおく。
p を含む Z[ζ] の極大イデアルは e' 個ある。
これ等を Q_0, .., Q_(e'-1) とおく。
S = {Q_0, .., Q_(e'-1)} とおく。

今まで何度か見てきたように、G は集合 S に推移的に作用する。
よって H' = {σ∈ G; σ(Q_0) = Q_0} とおくと、
[G: H'] = e' である。
よって |H'| = f' である。ここで、|H'| は H' の位数を表す。

Z[η] ∩ Q_i は Z[η] の 0 でない素イデアルだから極大イデアル
である。これ等のなかで相異なるものを P_0, ..., P_(r-1) とする
>>564 より、pZ[η] = P_0 ∩...∩ P_(r-1) である。

Z[η] ∩ Q_0 = P_0 と仮定してよい。
前スレ１の639 より H は集合 T = {Q_i; Z[η] ∩ Q_i = P_0 } に
推移的に作用する。H ∩ H' = {σ∈ H; σ(Q_0) = Q_0} だから
|T| = [H : H ∩ H'] である。ここで、|T| は T の元の個数を表す。

G は巡回群だから、|H ∩ H'| = gcd(f, f') である。
ここで、gcd(f, f') は f と f' の最大公約数を表す。
よって、 |T| = f/gcd(f, f') となる。
つまり P_0 の上にある Z[ζ] の素イデアルの個数は f/gcd(f, f')
である。