補題
A をネーター局所環とし、m をその極大イデアル、
M ≠ 0 を有限生成 A-加群とする。
a を m の元で M-正則とする。
p ∈ Ass(M) とすると、p + aA ⊂ q となる q ∈ Ass(M/aM) が存在する。

証明
a による乗法により次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/aM → 0

これから次の完全列が得られる。

0 → Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M/aM)

この完全列より、Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M/aM) の核は
a(Hom(A/p, M)) だから Hom(A/p, M) → Hom(A/p, M/aM) の像は
Hom(A/p, M)/a(Hom(A/p, M)) と同型である。

一方、p ∈ Ass(M) だから Hom(A/p, M) ≠ 0 である(前スレ１の93)。
よって中山の補題(前スレ１の242)より a(Hom(A/p, M)) ≠ Hom(A/p, M)
である。よって Hom(A/p, M/aM) ≠ 0 である。
よって、px ∈ aM となる x ∈ M で aM に含まれないものがある。
よって前スレ１の90より p を含む q ∈ Ass(M/aM) がある。
前スレ１の99より Ass(M/aM) ⊂ Supp(M/aM) であるから、
q ∈ Supp(M/aM) である。
一方、前スレ２の953より Supp(M/aM) = V(Ann(M) + aA) である。
よって aA ⊂ q である。よって p + aA ⊂ q である。
証明終