ここで前の問題(>>582)に戻る。
前提条件を改めて述べる。

λを奇素数、ζ を 1 の原始λ乗根の１つとする。
f を λ - 1 を割る有理整数で 1 ＜ f ＜ λ - 1 とする。

f 項周期から構成される円分整数(>>269)全体のなす環
Z[η_0, η_1, ..., η_(e-1)] を考える。ここで e = (λ - 1)/f
である。この環を Z[η] と書く。

P を Z[η] の 0 でない素イデアルとする。0 でない円分整数 f(ζ)
で P に属すものがある。τを Z[ζ] の自己同型とすると、
τ(f(ζ)) ∈ Z[η] だから f(ζ) のノルム(>>174) Nf(ζ) は
Z ∩ P に含まれる。よって Z ∩ P ≠ 0 である。
よって Z ∩ P = pZ となる有理素数 p がある。

ここでまず p ≠ λ の場合を考える。

>>564 より P_0 ∩...∩ P_(r-1) = pZ[η] である。
pZ[η] ⊂ P だから、ある i に対して P_i ⊂ P となる。
P_i は Z[η] の極大イデアルだから P_i = P である。
よって >>565 より Z[η]_P は離散付値環である。

今度は p = λ の場合を考える。
この場合も >>576 より Z[η]_P は離散付値環である。

以上から >>605 より Z[η] の０でないイデアルは素イデアルの冪積として
一意に分解される。
これが、>>582 で証明したいことであった。