命題
A をネーター環とし、I をそのイデアル、
M を有限生成 A-加群で、M ≠ IM とする。
I に含まれる M-正則列で極大なものの長さは depth(I, M) に等しい。

証明
>>57 から depth(I, M) は有限である。
x_1, ..., x_r を I に含まれる M-正則列 で極大なものとする。
>>50 より r ≦ depth(I, M) である。

r ＜ depth(I, M) と仮定する。
depth(I, M) の定義から Ext^r(A/I, M) = 0 である。
>>61 より Hom(A/I, M/(x_1M + ... + x_rM)) = 0 である。
M ≠ IM だから M/(x_1M + ... + x_rM) ≠ 0 である。
よって >>51 より I は M/(x_1M + ... + x_rM) に関して
正則な元 y を含む。
x_1, ..., x_r, y は I に含まれる M-正則列 だから
x_1, ..., x_r の極大性に反する。
よって r = depth(I, M) である。
証明終