命題
A を体でないネーター整域で、０でない任意の素イデアル P に対して
A_P は離散付値環であるとする。
このとき、A の０でないイデアルは素イデアルの冪積として一意に分解される。

証明
仮定より 0 でない任意の素イデアル P に対して P に含まれる素イデアルは
0 と P のみである。よって P は極大イデアルである。
I を 0 でないイデアルとする。I を含む極大イデアルは Supp(A/I) の極小元
だから有限個である(前スレ１の224)。

J = ΠP^n とおく。ここで P は I を含む極大イデアル全体を動き、
IA_P = (P^n)A_P とする。
IA_P = JA_P である。よって、>>587 より I = J である。
一意性は明らかである。
証明終