補題
A を環とし、I をそのイデアル、
M を A-加群とする。
x を I の元で M-正則とする。
p ≧ 1 を整数とする。
Ext^(p-1)(A/I, M) と Ext^p(A/I, M/xM) は同型である。

証明
x による乗法で定義される射: M → M を考える。
x は M-正則だから次の完全列が得られる。

0 → M → M → M/xM → 0

これから次の完全列が得られる。

Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^p(A/I, M/xM)
→ Ext^p(A/I, M) → Ext^p(A/I, M)

>>32 より、Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^(p-1)(A/I, M) は x による
乗法である。
一方、A/I は A-加群として、I の元で零化される。
よって、>>30 より x(Ext^(p-1)(A/I, M)) = 0 である。
同様に x(Ext^p(A/I, M)) = 0 である。
よって、次の完全列が得られる。

0 → Ext^(p-1)(A/I, M) → Ext^p(A/I, M/xM) → 0
証明終